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1 . 对于数列
，如果存在正整数
，当任意正整数
时均有
，则称
为
的“
项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知
，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
(2)若满足
，其中是首项
的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：
，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．(1)已知
，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？(2)若
满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：(3)已知等差数列
和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．
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解题方法
2 . 如图，直线
与直线
，分别与抛物线
交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当
经过T的焦点F且垂直于x轴时，
．
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若
，求四边形ABCD的面积．
与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若
，求四边形ABCD的面积．
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3 . 已知函数
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数至多一个零点，求a的取值范围．
．(1)当
时，求函数在处的切线方程；(2)若函数至多一个零点，求a的取值范围．
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4 . 安徽省从2024年起实施高考综合改革，实行高考科目“
”模式．“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表1：
表1
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法 分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为
，其中
分别表示原始分区间的最低分和最高分，
分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级赋分，计算结果四舍五入取整．若甲同学在五月全市模考中某选考科目成绩信息如表2（本次考试成绩均为自然数 ）
表2
(1)求甲同学该科目的等级分；
(2)理论上当原始分区间
的极差
越大时，该区间中得分越低的同学赋分后等级分比原始分增加越多．比如某同学仅该科目较为薄弱，如果赋分后能比原始分增加9.5分以上（包含9.5分），那么六科总分排名相对于原始分排名就会有大幅提升，此时赋分制对于该同学就是有利的．经过统计数据，五月全市模拟考试该学科A等级的成绩分布如表3．则如果从A等级的学生中随机选出100名，X表示其中获益于赋分政策的人数，求
的值．
表3
”模式．“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如表1：表1
| 等级 | A | B | C | D | E |
| 人数比例 |  |  | |  |  |
| 赋分区间 |  |  |  |  |  |
，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级赋分，计算结果四舍五入取整．若甲同学在五月全市模考中某选考科目成绩信息如表2（表2
| 原始分 | 成绩等级 | 原始分区间 | 等级分区间 |
| 75分 | A等级 |  |  |
(1)求甲同学该科目的等级分；
(2)理论上当原始分区间
的极差越大时，该区间中得分越低的同学赋分后等级分比原始分增加越多．比如某同学仅该科目较为薄弱，如果赋分后能比原始分增加9.5分以上（包含9.5分），那么六科总分排名相对于原始分排名就会有大幅提升，此时赋分制对于该同学就是有利的．经过统计数据，五月全市模拟考试该学科A等级的成绩分布如表3．则如果从A等级的学生中随机选出100名，X表示其中获益于赋分政策的人数，求的值．表3
| 分数段 |  |  |  |  |  |
| 人数比例 |  |  |  | | |
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5 . 如图，在三棱柱
中，正方形
的棱长为2，
，点M为AB中点，
．为直三棱柱；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
中，正方形的棱长为2，，点M为AB中点，．
为直三棱柱；(2)求直线
与平面所成角的余弦值．
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解题方法
6 . 平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量
的大小可以由模来刻画，其方向可以由以
轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角
来刻画.设
，则
.另外，将向量
绕点
按逆时针方向旋转
角后得到向量
.如果将
的坐标写成
（其中
，那么
.根据以上材料，回答下面问题:
，求向量
的坐标;
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点
和
分别为等腰直角
和等腰直角
的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题:
，求向量的坐标;(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点
和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
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解题方法
7 . 如图，已知正方体
顶点处有一质点
，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动
次后仍在底面
上的概率为
.
；
(2)求
.
顶点处有一质点，点每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点的初始位置位于点处，记点移动次后仍在底面上的概率为.
；(2)求
.
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解题方法
8 . 如图，在三棱柱中，
，四边形为菱形，
.
.
(2)已知平面
平面，求平面
与平面
所成夹角的余弦值.
中，，四边形为菱形，.
.(2)已知平面
平面，求平面与平面所成夹角的余弦值.
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9 . 设是正项数列，且其前项和为
，已知
.
(1)求数列的通项公式；
(2)令
，求的前项和
.
是正项数列，且其前项和为，已知.(1)求数列
的通项公式；(2)令
，求的前项和.
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解题方法
10 . 某手机
公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：
(1)求不满意人数
与月份之间的回归直线方程
，并预测该小区10月份对这款不满意人数；
(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：
根据小概率值
的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
，
，
，
参考数据： 
.
公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
不满意的人数 | 120 | 105 | 100 | 95 | 80 |
与月份之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数；(2)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款
与性别的关系，得到下表：使用 | 不使用 | |
女性 | 48 | 12 |
男性 | 22 | 18 |
的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，，，
| 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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