1 . 如图是古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus，约前417—前369）用来构造无理数，，，的图形，根据图中所标示的数据计算下列问题：

（1）求的值；
（2）证明：.

2 . 已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，．
（1）若，的坐标为，求；
（2）若，，求的最大值；
（3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值．

3 . 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．

4 . 某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象，如图所示.

（1）根据图中数据，试求的表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？

5 . 某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏内(不考虑宽度)，知，现在计划以为一边种植一片三角形的草地，为这群牛提供粮草，.

（1）求间的护栏的长度，
（2）求所种植草坪的最大面积.

6 . 现有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮废料，现在准备利用这块铁皮制作一些图形模型．已知点P在弧上，设．

                    图1                                                     图2
（1）方案1：过点P裁剪一个扇形内接矩形（如图1），点Q在上，点M，N在上，
①若，求矩形的面积；
②若矩形是正方形，求的值；
（2）方案2：从P点处分别向作两条垂线和，垂足为S，T，（如图2）这样可以裁剪出两个直角三角形和，为了提高废料的利用率，我们希望这两个直角三角形面积和最大，试问此时点P应在何处？请说明你的理由．

7 . 数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧密相连.记数列2，，，2，，，2，，-1，…为，三角形式可以表达为，其中，，.
（1）记数列的前n项和为，求，，及；
（2）求数列的三角形式通项公式.

8 . 已知，，且．
（1）求角的大小；
（2），给出的一个合适的数值使得函数的值域为．

9 . 三角形ABC中，，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，

（1）求和;
（2）是延长线上的点，，当在上运动时，求的最大值.

10 . 缉私船在A处测出某走私船在方位角为(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)

（1）若，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；
（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.