1 . 已知函数满足：对任意的实数，都有，且时，．
(1)证明：函数在上单调递增；
(2)若，求实数的取值范围．

2 . 已知函数.
(1)判断函数的奇偶性并加以证明；
(2)解关于x的不等式.

3 . 已知函数的定义域为，对任意的，都有.当时，，且.
(1)求的值，并证明：当时，；
(2)判断的单调性，并证明；
(3)若，求不等式的解集.

4 . 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．

5 . 已知是定义在上的偶函数，且时，.
(1)求函数在上的解析式，并判断其单调性（无需证明）；
(2)若，求实数的取值范围.

6 . 已知定义域为，对任意都有，当时，，．
(1)试判断在上的单调性，并证明；
(2)解不等式：．

7 . 如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，那么称是函数的“阶梯点”．
(1)试判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由；
(2)证明：函数有唯一“阶梯点”；
(3)设函数在区间内有“阶梯点”，求实数的取值范围．

8 . 已知函数．
(1)直接写出在上的单调区间无需证明；
(2)求在上的最大值；
(3)设函数的定义域为，若存在区间，满足：，，使得，则称区间为的“区间”已知，若是函数的“区间”，求的最大值．

9 . 已知函数是上的奇函数，且.
(1)求实数m，n的值；
(2)判断函数在上的单调性，并给出证明.
(3)在（2）成立的条件下，若成立，求实数t的取值范围.

10 . 已知函数．
(1)记，已知函数为奇函数，求实数b的值；
(2)求证：函数是上的减函数．