1 . 已知二次函数同时满足以下
①对任意实数，都有；
②当时，有恒成立；
（1）求证:当时，
（2）若函数经过点，求该二次函数的表达式；
（3）在（2）条件下，对任意都有成立，求实数的取值范围.

2 . 设函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）当时，写出函数的单调区间（不要求证明）.

3 . 设函数(a,);
(1)若,求证:函数的图像必过定点;
(2)若,证明:在区间上的最大值;
(3)存在实数a,使得当时,恒成立,求实数b的最大值;

4 . 已知是定义在上的函数，记，的最大值为.若存在，满足，则称一次函数是的“逼近函数”，此时的称为在上的“逼近确界”.
（1）验证：是的“逼近函数”；
（2）已知.若是的“逼近函数”，求的值；
（3）已知的逼近确界为，求证：对任意常数，.

5 . 已知函数．
（1）对于实数，，若，有，求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若，函数，求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若存在实数，使得对于任意实数，都有，求实数的取值范围．

6 . 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”.
（1）求证：是函数的一个“优美区间”.
（2）求证：函数不存在“优美区间”.
（3）已知函数（）有“优美区间”，当a变化时，求出的最大值.

7 . 已知函数．
（1）求证：函数的图象与轴恒有公共点；
（2）当时，求函数的定义域.

8 . 已知关于x的二次函数
（1）求证：对于任意方程必有实数根；
（2）若方程在区间和内各有一个实数根，求实数的范围.

9 . 设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒成立，且当时，.
（1）求证：是以2为周期的函数（不需要证明2是的最小正周期）；
（2）对于整数，当时，求函数的解析式；
（3）对于整数，记在有两个不等的实数根}，求集合.

10 . 已知函数.
（1）求证：函数的图像与轴恒有两个不同的交点、，并求此两交点之间距离的最小值；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.