1 . 设函数为定义在区间上的可导函数，记的导函数为，若对，都有或恒成立，则称为区间上的“原导同号函数”.
(1)证明：为上的“原导同号函数”；
(2)是否存在实数，使为上的“原导同号函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；
(3)若为上的“原导同号函数”，证明：.

2 . 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
(3)设，证明：．

3 . 如图，一个圆柱内接于半径为6的半球面，设内接圆柱的高为，体积为.

(1)建立关于的函数关系，并指出的取值范围；
(2)利用导数，求出圆柱的最大体积.

4 . 球形物体天然萌，某食品厂沿袭老字号传统，独家制造并使用球形玻璃瓶用于售卖酸梅汤，其中瓶子的制造成本c（分）与瓶子的半径r（cm）的平方成正比，且当cm时，制造成本c为3.2π分，已知每出售1mL的酸梅汤，可获得0.2分，且制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)写出每瓶酸梅汤的利润y与r的关系式（提示：）；
(2)瓶子半径多大时，每瓶酸梅汤的利润最大，最大为多少？（结果用含π的式子表示）．

5 . 函数的图象为曲线关于直线的对称曲线，，设为函数的导函数.
（1）当时，求的零点；
（2）时，设的最小值为，求证：.