1 . 一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间分成个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作和式．如果无限接近于0（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分，记为．当时，定积分的几何意义表示由曲线，两直线与轴所围成的曲边梯形的面积．如果是区间上的连续函数，并且，那么．
(1)求；
(2)设函数．
①若恒成立，求实数的取值范围；
②数列满足，利用定积分几何意义，证明：．

2 . 已知双曲线，直线为其中一条渐近线，为双曲线的右顶点，过作轴的垂线，交于点，再过作轴的垂线交双曲线右支于点，重复刚才的操作得到，记．
(1)求的通项公式；
(2)过作双曲线的切线分别交双曲线两条渐近线于，记，求证：．

3 . ，，，．
(1)若，，证明：；
(2)是否存在使有且仅有一组解，若存在，求取值集合；若不存在，请说明理由．

4 . 据《九章算术》中记载：将军要在营地到骑马到河边的营地，两营地之间相距50千米．已知马没有在河边补充水分时，速度为；在河边喝完水，速度为．如图所示，营地离河边距离为，河所在的直线为，忽略马在河边喝水的时间．
   
(1)将军先骑马到河边的处，再赶到营地，一共要花多少时间；
(2)将军赶到营地所花的最少时间为多少．

5 . 现有一块形状为等腰直角三角形的复合材料为斜边，现欲将其加工成某一零件，需沿着与相切的曲线进行裁切得到部分，经测量，的长度为，若以O为坐标原点，为x轴的正半轴，则的曲线近似为的图象．

(1)求复合材料的面积.
(2)现要对裁切下来的部分进行第二道工序，需在该材料上开个一边在上相接于的矩形盲孔，求盲孔面积的最大值．

6 . 设函数，
(1)求的最大值；
(2)求证：对于任意恒成立．（参考数值：）

7 . 已知函数.
(1)若是函数的极大值点，函数的极小值为.
①求实数的取值范围及的表达式；
②记为的最大值，求证：（是自然对数的底）.
(2)若在区间上有两个极值点.求证：.

8 . 已知函数，.
（Ⅰ）求的导数；
（Ⅱ）当时，求证：在上恒成立；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的最大值.
注：以下不等式可参考使用：对任意，，，恒有，当且仅当时“=”成立.

9 . 已知函数在上单调递减．
（1）求实数的取值范围；
（2）当实数取最大值时，方程恰有二解，求实数的取值范围；
（3）若，求证:．（注：为自然对数的底数）

10 . 设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)