1 . 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）

(2)证明：当时，函数不存在“自公切线”；
(3)证明：当，时，.

2 . 若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”.已知.
(1)证明：存在源数列；
(2)（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和.

3 . 记函数的导函数为，的导函数为，设是的定义域的子集，若在区间上，则称在上是“凸函数”.已知函数.
(1)若在上为“凸函数”，求的取值范围；
(2)若，判断在区间上的零点个数.

4 . 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆在处的曲率；
(3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

5 . 某物流公司计划扩大公司业务，但总投资不超过100万元，市场调查发现，投入资金x（万元）和年增加利润y（万元）近似满足如下关系．
(1)若该公司投入资金不超过40万元，能否实现年增加利润30万元？
(2)如果你是该公司经营者，你会投入多少资金？请说明理由．

6 . 某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：（，为常数，，）；乙产品的平均成本利润（单位：万元）与投资成本（单位：万元）满足：.已知投资甲产品为1万元，10万元时，获得的利润分别为5万元，16.515万元.
(1)求，的值；
(2)若该工厂计划投入50万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10万元，问怎样分配这50万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？
（参考数据：，）

7 . 帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．

8 . 若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．

9 . 已知函数（），（）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，函数、满足下面两个条件：①方程有唯一实数解；②直线（）与两条曲线和有四个不同的交点，从左到右依次为，，，.问是否存在1，2，3，4的一个排列，，，，使得？如果存在，请给出证明；如果不存在，说明理由.

10 . 如图所示，两村庄和相距，现计划在两村庄外以为直径的半圆弧上选择一点建造自来水厂，并沿线段和铺设引水管道.根据调研分析，段的引水管道造价为万元，段的引水管道造价为万元，设，铺设引水管道的总造价为万元，且已知当自来水厂建在半圆弧的中点时，.

(1)求的值，并将表示为的函数；
(2)分析是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由.