1 . 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
(1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；
(2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.

2 . 为应对新一代小型无人机武器，某研发部门开发了甲、乙两种不同的防御武器，现对两种武器的防御效果进行测试.每次测试都是由一种武器向目标无人机发动三次攻击，每次攻击击中目标与否相互独立，每次测试都会使用性能一样的全新无人机.对于甲种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机必坠毁；对于乙种武器，每次攻击击中目标无人机的概率均为，且击中一次目标无人机坠毁的概率为，击中两次目标无人机坠毁的概率为，击中三次目标无人机必坠毁.
(1)若，分别使用甲、乙两种武器进行一次测试.
①求甲种武器使目标无人机坠毁的概率；
②记甲、乙两种武器使目标无人机坠毁的数量为，求的分布列与数学期望.
(2)若，且，试判断在一次测试中选用甲种武器还是乙种武器使得目标无人机坠毁的概率更大？并说明理由.

3 . 某城市人口数量950万人左右，共900个社区．在实施垃圾分类之前，随机抽取300个社区，并对这300个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，每个社区在这一天的垃圾量X大致服从正态分布．将垃圾量超过32吨天的社区确定为“超标”社区．
(1)请利用正态分布知识估计这900个社区中“超标”社区的个数；(结果取整数部分)
(2)通过研究样本原始数据发现，抽取的300个社区中这一天共有7个“超标”社区，市政府决定对7个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这7个“超标”社区中任取4个进行跟踪调查，已知这7个社区中有3个社区在这一天的垃圾量超过35吨．设为抽到的这一天的垃圾量超过35吨的社区个数，求的概率分布与数学期望；
(3)用样本的频率代替总体的概率，现从该市所有社区中随机抽取50个社区，记为这一天垃圾量超过32吨的小区的个数，求的值．
(参考数据：； ；；)

4 . （1）在的展开式中，求形如（，）的所有项的系数之和．
（2）证明：展开式中的常数项为．
（3）设的小数部分为，比较与1的大小

5 . 某电池厂对新研发的一款电池使用情况进行了9次测试.每使用1小时测量一次剩余电量，得到剩余电量(单位:库仑)与使用时间(单位:小时)的数据如下:

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	2.77	2	1.92	1.36	1.12	1.09	0.74	0.68	0.53

(1)现从9组数据中选出7组数据作分析，其中剩余电量不足0.8的数据组数记为，求出的分布列和数学期望；
(2)由散点图发现关于的回归方程类型为，设，利用表格中的9组数据回答下列问题:
(i)计算与之间的相关系数(精确到0.01)；
(ii)求关于的回归方程(a，b精确到0.01).
参考数据:.

45	-15.55	1.55	60
12.21	-11.98	2.43	4.38

其中，.
附:对于一组数据，相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.

6 . 某化学实验室在进行药品整理过程中，发现有6瓶无色无味的溶液标签遗失，但可以确定其中有2瓶溶液A，4瓶溶液.工作人员需要利用试剂逐一对它们进行检测，直到能鉴别出两种溶液，检测停止.
(1)求在第一次检测出一瓶溶液的条件下，检测进行4次停止的概率；
(2)求检测进行了5次停止的概率；
(3)若检测前发现检测试剂只剩下4盒，每盒只能检测1瓶，求检测试剂够用，且至多能余一盒的概率.

7 . 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.
①求甲获胜的概率；
②求.

8 . 定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）

(2)证明：当时，函数不存在“自公切线”；
(3)证明：当，时，.

9 . 在的二项式展开式的所有项中，依次不放回地抽取两项，且每一项被取到的可能性相等．
(1)在第一次取到有理项的条件下，求第二次取到无理项的概率；
(2)记取到有理项的项数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．

10 . 网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）.
(1)试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小；
(2)问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？
参考数据：，，，，.