1 . 已知函数，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，以为切点，作直线交的图像于异于的点，再以为切点，作直线交的图像于异于的点，…，依此类推，以为切点，作直线交的图像于异于的点，其中．求的通项公式．
(3)在（2）的条件下，证明：

2 . 已知，过点（）作图象的切线.
(1)求切线的斜率的最大值.
(2)证明：切线与在第一象限仅有一个交点，且.

3 . 已知函数，、是函数图象上任意不同的两点，设直线的斜率为，若对于任意两点，恒有.
(1)求的取值范围；
(2)当是（1）中的最小正整数时，直线与的图象交于不同的两点.求证：两个交点的横坐标不小于.

4 . 已知，且0为的一个极值点．
(1)求实数的值；
(2)证明：①函数在区间上存在唯一零点；
②，其中且．

5 . 石宝寨位于重庆市忠县境内长江北岸边，被称为“江上明珠”，国家AAAA级旅游景区，全国重点文物保护单位，长江三峡最佳旅游景观之一，美国探索频道中国七大奇观之一，世界八大奇异建筑之一.近期石宝寨景区为提高经济效益，拟投入资金对景区经行改造升级，经过市场调查可知，景区门票增收y（单位：万元）与投入资金40）（单位：万元）之间的关系式为：，其中为常数，当投入资金为10万元时，门票增收为万元；当投入资金为30万元时，门票增收为37万元.（参考数据，）
(1)求的解析式：
(2)石宝寨景区投入资金为多少时，改造升级后的旅游利润最大，最大值为多少？

6 . 设连续正值函数定义在区间上，如果对于任意，都有，则称为“几何上凸函数”．已知，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，试判断是否为上的“几何上凸函数”，并说明理由．

7 . 如图，有一块荒地.某人想利用其中一段长度为10米的废墙，其他三面用篱笆在荒地上围一个面积为120平方米的矩形菜园，设矩形菜园的一边的长为x米．

(1)求菜园所需篱笆长y关于x的函数，并求函数的定义域；
(2)若篱笆的价格为12元/米，问当x为何值时，这个矩形菜园的造价最低？并求最低造价．

8 . 设函数的零点为，的零点为，其中，均大于零.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：.
参考数据：，.