23-24高一下·全国·课前预习
1 . 已知向量
,
,
和实数λ,则:
(1)交换律:___________ ;
(2)数乘结合律:_______________ ;
(3)分配律:________________ .
注意:(1)向量的数量积不满足消去律;若
,
,
均为非零向量,且
,但得不到
.
(2)
,因为
,
是数量积,是实数,不是向量,所以
与向量
共线,
与向量
共线,因此,
在一般情况下不成立.
(3)推论:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73a0b19e69be46452425916a0fcb49c9.png)
(1)交换律:
(2)数乘结合律:
(3)分配律:
注意:(1)向量的数量积不满足消去律;若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73a0b19e69be46452425916a0fcb49c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9dcf295c00ce5def2c8ac6ce4c937e5b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4b7ca4667865ebe617fa6539e8d11fd.png)
(2)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8933b777306573e1f2c4d3dda8f5227d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/854e16eb319ee454088f5b527cf6c4d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c15cd63a9494b3947c9ee121913d9f51.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d0795f64078d89a9f5cb3680bce2816b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73a0b19e69be46452425916a0fcb49c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/380247c556e5174db9ea7e22ccd074b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2b1c174ed96f1dd5043691210f155b5d.png)
(3)推论:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c340671538a445c23040ef2e1a802930.png)
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23-24高一下·全国·课前预习
解题方法
2 . 设
,
是非零向量,它们的夹角是θ,
是与
方向相同的单位向量,则:
(1)![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd5d9c308e91beb37f6d6d32b8a2415c.png)
_______ ;
(2)
_____ ;
(3)当
与
同向时,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba3c6bd21d9c27a68b970f446f04d6df.png)
_____ ;当
与
反向时,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba3c6bd21d9c27a68b970f446f04d6df.png)
_____ .特别地,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4da684e75596f7bf3b9ff674e1bf362a.png)
___ 或
;
(4)![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dedbea4040e4162b047e6a05b177e063.png)
_____
;
(5)![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4961a7dd688b8a12db7d1d3480c6b87f.png)
_____ ,其中θ是非零向量
与
的夹角.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c984376f5475184e0d3e4f7e1bb65f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
(1)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dd5d9c308e91beb37f6d6d32b8a2415c.png)
(2)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/68d5b4c0999a3a66ef0c49086c402599.png)
(3)当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba3c6bd21d9c27a68b970f446f04d6df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba3c6bd21d9c27a68b970f446f04d6df.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4da684e75596f7bf3b9ff674e1bf362a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ede221f39dc56eb53d76d7e0de430741.png)
(4)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dedbea4040e4162b047e6a05b177e063.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6502ba9c852a773d78b7588bb4beae4b.png)
(5)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4961a7dd688b8a12db7d1d3480c6b87f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
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23-24高一下·全国·课前预习
3 . 向量的夹角公式:设两非零向量
,
,
与
的夹角为θ,则
=_______________ .
注意:由三角函数值cos θ 求角θ时,应注意角θ的取值范围是
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c2c857eec21dd64ccf0ba530883bb6cc.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bcab0226effeccd2a336c23079bc1be.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9ce1626d98d428fb55701dff234e7d2.png)
注意:由三角函数值cos θ 求角θ时,应注意角θ的取值范围是
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e34281318027f1d9d7cffd42d2cca8df.png)
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4 . 如图,在直三棱柱
中,
,
,则向量
与
的夹角是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/42d3a82b8e587ee890467835bc4e854c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f99135167175760935148047d6170c7b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4979f0d8ed02ce99f440b6ff4f3216e1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6d021a5c98388463d577675e58068aa7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a38dfb3f3d83fa111eb89009789e88b1.png)
A.30° | B.45° |
C.60° | D.90° |
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21-22高一·全国·课前预习
解题方法
5 . 已知力
的大小
,在
的作用下产生的位移
的大小为
,
与
的夹角为60°,则
做的功为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f120d1660cf97c64d01e699f92faa80.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/517df01c064ebd650a3e891451ff5176.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f120d1660cf97c64d01e699f92faa80.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aeddd2f5ec1429f97dd13adb8ca349bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9314ee1b5934e94ecc03db21dff2edb9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f120d1660cf97c64d01e699f92faa80.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aeddd2f5ec1429f97dd13adb8ca349bb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f120d1660cf97c64d01e699f92faa80.png)
A.7 | B.10 | C.14 | D.70 |
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2024-03-02更新
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308次组卷
|
4卷引用:6.4.2向量在物理中的应用举例(导学案)-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)
(已下线)6.4.2向量在物理中的应用举例(导学案)-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)(已下线)6.4.1平面几何中的向量方法+6.4.2向量在物理中的应用举例【第一课】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路(已下线)6.4.2 向量在物理中的应用举例 (分层作业)-【上好课】(已下线)6.4.2 向量在物理中的应用举例——随堂检测
6 . 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点
、
的距离之比为定值
(
且
)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系
中,
、
,点
满足
,则
的最小值为___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5963abe8f421bd99a2aaa94831a951e9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f9e8449aad35c5d840a3395ea86df6d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/df64046e91b047037f19e4032e3b6de3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3be362dec96173f246ff747264007817.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/472393b18c7880e73b40e31fbe2d951c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ee31829d0d4d5f779a957d7df8058ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/913f78382630e50543e5f7192cae3ed3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c850811ba59a05e945a665196539a048.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dad2a36927223bd70f426ba06aea4b45.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3234f001f423327fc109715c65546fe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/59880e470359d8e9faf6ae5ce155cf2a.png)
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2023-08-02更新
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1065次组卷
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15卷引用:2.1 圆的方程(八大题型)-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(苏教版2019选择性必修第一册)
(已下线)2.1 圆的方程(八大题型)-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练(苏教版2019选择性必修第一册)上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高二下学期期末数学试题(已下线)第2章 圆与方程章末题型归纳总结(2)黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题内蒙古自治区优质高中联考2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题广东省清远市阳山县南阳中学2023-2024学年高二上学期第二次月考(期中)数学试题吉林省白山市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题江西省上饶市广丰区南山中学2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题(已下线)专题04 与圆有关的轨迹方程问题【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲(人教A版2019选择性必修第一册)(已下线)期末精确押题之填空题(40题)-2023-2024学年高二数学上学期《考点·题型·难点》期末高效复习(人教A版2019)(已下线)FHsx1225yl107江西省宜春市高安二中,丰城九中,樟树中学,万载中学,宜丰中学五校联考2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(已下线)专题3 阿波罗尼斯圆及其应用【讲】(压轴小题大全)内蒙古自治区包头市2024届高三下学期适应性考试文科数学试题(二)陕西省安康市高新中学2024届高三下学期5月适应性试题(二)文科数学试题
21-22高一·全国·课前预习
解题方法
7 . 已知向量
满足
,
,且
与
夹角为30°,那么
等于( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d41cc31ee0ea74b007461a6365d47bf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29276b43a2950ed71f0f9629a35dfa74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/374034db9a1de169965c72a046a0aa7c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/854e16eb319ee454088f5b527cf6c4d5.png)
A.1 | B.![]() | C.3 | D.![]() |
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2023-10-10更新
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1282次组卷
|
7卷引用:6.2.4向量的数量积(导学案)-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)
(已下线)6.2.4向量的数量积(导学案)-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)北京市海淀区清华志清中学2023-2024学年高二上学期第一次月考练习数学试题(已下线)第02讲 平面向量的运算-【寒假预科讲义】(人教A版2019必修第一册)(已下线)第6.2.4讲 向量的数量积与夹角(第1课时)-精讲精练宝典(已下线)8.1.1向量数量积的概念-同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)(已下线)8.1.1-8.1.2 向量数量积的概念、向量数量积的运算律-【帮课堂】(人教B版2019必修第三册)北京市丰台区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(A卷)
名校
解题方法
8 . 已知
,
,
,且
与
垂直,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5085e3cdef9ea6c564e079f745d6fdb.png)
________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8bf21fef3026cfe445a855c94cab5c84.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29276b43a2950ed71f0f9629a35dfa74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ff265969988f1f138700129e5d7a6d2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/45de8e295dcaece1761b896e67d78c67.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eadb52537a6679873489525e2f404b64.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5085e3cdef9ea6c564e079f745d6fdb.png)
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581次组卷
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10卷引用:6.2.4向量的数量积(导学案)-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)
(已下线)6.2.4向量的数量积(导学案)-【新教材精创】 2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册)天津市东丽区军粮城中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题新疆石河子第一中学2022届高三8月月考数学(文)试题(A卷)新疆石河子第一中学2022届高三8月月考数学(理)试题(A卷)天津市嘉诚中学2022-2023学年高一下学期3月学情调研数学试题(已下线)6.2.4向量的数量积【第一课】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路(已下线)6.2.4向量的数量积【第二课】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路(已下线)8.1.2向量数量积的运算律-同步精品课堂(人教B版2019必修第三册)(已下线)2.5 从力的做功到向量的数量积6种常见考法归类(1)-【帮课堂】(北师大版2019必修第二册)陕西省西安市第八十五中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
9 . 若
,且
,求
与
的夹角
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81be1ad26edee642c9775795ac55bced.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/75995f295f383800a9a68cadf23c2e1f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ed492f7b29166ba5c1f0023b05a439c5.png)
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2023-07-09更新
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145次组卷
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7卷引用:第3课时 课前 向量的减法运算
第3课时 课前 向量的减法运算沪教版(2020) 必修第二册 领航者 第8章 平面向量 8.2向量的数量积 第1课时 向量的投影沪教版(2020) 必修第二册 领航者 一课一练 第8章 8.2 第1课时 向量的投影1.4.2 向量线性运算的坐标表示 课时作业北师大版(2019)必修第二册课本习题 习题2-5(已下线)习题 2-5(已下线)【高一模块四】 回归1 平面向量的课本典型例题和习题
名校
10 . 在
中,
为中线
上的一个动点,若
,则
的取值范围是_____ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d50703c46b6153945d718b198f03b4b5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e3432d20e661779ddcefda76afcc2ac.png)
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2022-12-12更新
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997次组卷
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10卷引用:6.4.2 平面向量的应用(学案)-2022-2023学年高一数学一隅三反系列(人教A版2019必修第二册)
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