1 . 【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．
（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；
（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

2 . 已知等比数列的首项是1，公比为3，等差数列的首项是，公差为1，把中的各项按如下规则依次插入的每相邻两项之间，构成新数列：，，，，，，，，，，…，即在和两项之间依次插入中个项，则__________．（用数字作答）

3 . 如图：假设三角形数列中的第行的第二个数为（，）
（1）归纳出与的关系式并求出的通项公式；
（2）设求证：

1             ……第一行

2   2            ……第一行

3   4   3            ……第一行

4   7   7   4          ……第一行

5   11   14   11   5        ……第一行

                                                  …       …     …     …

4 . 已知等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求；
(3)是否存在正整数，使得仍为数列中的项，若存在，求出所有满足的正整数的值；若不存在，说明理由.

5 . 已知数列满足
(1)若数列满足，证明：数列是等比数列；
(2)若数列满足，
①证明：数列是等差数列；
②若数列满足且，证明：数列中的每一项均不小于.

6 . 设个不全相等的正数，，…，依次围成一个圆圈.
(1)设，且，，，…，是公差为的等差数列，而，，，…，是公比为的等比数列，数列，，…，的前项和满足，，求数列的通项公式；
(2)设，，若数列，，…，每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；
(3)在（2）的条件下，，求符合条件的的个数.

7 . 对于任意，若数列满足，则称这个数列为“K数列”.
（1）已知数列：，，是“K数列”，求实数的取值范围；
（2）设等差数列的前项和为，当首项与公差满足什么条件时，数列是“K数列”？
（3）设数列的前项和为，，且，. 设，是否存在实数，使得数列为“K数列”. 若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

8 . 给定正整数k,若各项为非零的实数数列满足对任意（）恒成立,则称数列是“数列”.
（1）若数列为等比数列,求证：数列是“数列”；
（2）若正项数列既是“数列”,又是“数列”,求证：数列是等比数列.

9 . 定义：若数列和满足则称数列是数列的“伴随数列”.
已知数列是数列的伴随数列，试解答下列问题：
(1)若，，求数列的通项公式；
(2)若，为常数，求证：数列是等差数列；
(3)若，数列是等比数列，求的数值．

10 . 已知数列的前项和为（），且满足，若对恒成立，则首项的取值范围是__________．