1 . 对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.
（1）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；
（2）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；
（3）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.

2 . 在无穷数列中，，对于任意，都有，，设，记使得成立的的最大值为．
(1)设数列为，，，，，写出，，的值．
(2)若为等比数列，且，求的值．
(3)若为等差数列，求出所有可能的数列

3 . 已知三个数 ， ，成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列 的前三项，则能使不等式 成立的自然数 的最大值为 __________．

4 . 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，中等于的项的个数.
（Ⅰ）若，请写出数列的前7项；
（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在，使得；
（Ⅲ）求证:“”是“存在，当时，恒有成立”的充要条件．

5 . 已知数列 为等比数列， 公比为q，且 ， 为数列 的前 项和.
(1)若求;
(2)若调换的顺序后能构成一个等差数列，求的所有可能值；
(3)是否存在正常数，使得对任意正整数 ，不等式总成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由．

6 . 已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
（3）设，，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.

7 . 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设
（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，又数列满足：：
①求数列的前和；
②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.

8 . 在数列中，，且，记，则

A．能被41整除

B．能被43整除

C．能被51整除

D．能被57整除

9 . 已知曲线：，：（），从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点.设，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，数列的前项和为，求证：；
（Ⅲ）若已知（），记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.

10 . 已知数列满足，且.
(1)求 的通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，证明：