1 . 已知点、、、（），都在函数（，）的图像上.
（1）若数列是等比数列，求证：数列是等差数列；
（2）当（）时，设过点、的直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
①求出直线在两坐标轴上的截距；
②求数列最大项及其值，并说明理由；
（3）若数列是递增数列，数列满足：对任意，总可以找到，使得，则称是的“分隔数列”，若（），递增数列满足，是的前项和，若数列是的“分隔数列”，求实数与的取值范围.

2 . 设数列的前项和为，，，数列满足：对于任意的，都有成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式；
（3）设数列，问：数列中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

3 . 已知函数，且存在，使得，设，，，．
（Ⅰ）证明单调递增；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）记，其前项和为，求证：．

4 . 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）若，数列满足关系式，求证：数列的通项公式为；
（3）设（2）中的数列的前n项和为，对任意的正整数n，恒成立，求实数p的取值范围.

5 . 已知二次函数的图象的顶点坐标为,且过坐标原点O,数列的前n项和为,点()在二次函数的图象上.
(1)求数列的表达式;
(2)设(),数列的前n项和为,若对恒成立,求实数m的取值范围;
(3)在数列中是否存在这样的一些项,,,,…,…(),这些项能够依次构成以为首项,q(,)为公比的等比数列?若存在,写出关于k的表达式;若不存在,说明理由.

6 . 对于数列，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”.
（1）若数列1，，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）已知等差数列的公差为，且，其前项和记为，试计算：（）；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比，求证:是“趋稳数列”.

7 . 定义：对于任意，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列.
（1）若等差数列的前项和为，且，判断数列是否是M数列，并说明理由；
（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，证明：数列是M数列，并指出M的取值范围；
（3）设数列，问数列是否是M数列？请说明理由.

8 . 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．

9 . 设，若存在，使得，且对任意，均有（即是一个公差为的等差数列），则称数列是一个长度为的“弱等差数列”.
（1）判断下列数列是否为“弱等差数列”，并说明理由.
①1，3，5，7，9，11；
②2，，，，.
（2）证明：若，则数列为“弱等差数列”.
（3）对任意给定的正整数，若，是否总存在正整数，使得等比数列：是一个长度为的“弱等差数列”？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由

10 . 设，若无穷数列满足：对所有整数，都成立，则称“-折叠数列”.
（1）求所有的实数，使得通项公式为的数列是-折叠数列；
（2）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是-折叠数列，且的各项中恰有个不同的值？证明你的结论；
（3）设递增数列满足.已知如果对所有，都是-折叠数列，则的各项中至多只有个不同的值，证明：.