1 . 设，若无穷数列满足：对所有整数，都成立，则称“-折叠数列”.
（1）求所有的实数，使得通项公式为的数列是-折叠数列；
（2）给定常数，是否存在数列，使得对所有，都是-折叠数列，且的各项中恰有个不同的值？证明你的结论；
（3）设递增数列满足.已知如果对所有，都是-折叠数列，则的各项中至多只有个不同的值，证明：.

2 . 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.
（1）已知等比数列{a_n}满足：，求证:数列{a_n}为“M－数列”；
（2）已知数列{b_n}满足:，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
①求数列{b_n}的通项公式；
②设m为正整数，若存在“M－数列”{c_n}，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．

3 . （I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当时，求的数值；②求的所有可能值；
（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．

4 . 给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
（1）设数列为，，，，写出，，的值；
（2）设是公比大于的等比数列，且.证明：是等比数列.
（3）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.

5 . 设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.
（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；
（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；
（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.

6 . 设，，，是各项为正数且公差为的等差数列．
（1）证明：，，，依次构成等比数列；
（2）是否存在，，使得，，，依次构成等比数列？并说明理由．

7 . 对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.
（1）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；
（2）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；
（3）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.

8 . 【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数学试题】若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．
（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；
（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；
（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

9 . 数列，定义为数列的一阶差分数列，其中，（），设
（1）若，求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若，又数列满足：：
①求数列的前和；
②求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列中其他两项之积.

10 . 给定正整数k,若各项为非零的实数数列满足对任意（）恒成立,则称数列是“数列”.
（1）若数列为等比数列,求证：数列是“数列”；
（2）若正项数列既是“数列”,又是“数列”,求证：数列是等比数列.