1 . 已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

2 . 已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.
（1）求数列、的通项公式；
（2）数列满足：，，证明

3 . 等差数列的前项和为，，其中成等比数列，且数列为非常数数列.
（1）求数列通项；
（2）设，的前项和记为，求证：.

4 . 设公差不为0的等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若是与的等比中项，，.
(1)求，与;
(2)若，求证:.

5 . 已知数列是各项均为正整数的等比数列，且，成等差数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，设数列的前项和为，求证：．

6 . 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；
（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数．
（1）求证：是一个定值；
（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；
（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

8 . 已知数列，，的前n项和为．
（1）若，，求证：，其中，；
（2）若对任意均有，求的通项公式；
（3）若对任意均有，求证：．

9 . 已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，其中，且．
（1）求证：，并由推导的值；
（2）若数列共有项，前项的和为，其后的项的和为，再其后的项的和为，求的比值．
（3）若数列的前项，前项、前项的和分别为，试用含字母的式子来表示（即，且不含字母）

10 . 数列的前项和为，且对任意正整数，都有；
（1）试证明数列是等差数列，并求其通项公式；
（2）如果等比数列共有2017项，其首项与公比均为2，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新数列，求数列中所有项的和；
（3）如果存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由；