1 . 设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作.
(1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项；
(2)求证：集合是空集；
(3)记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.）

2 . 已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.
(1)当，时，写出的所有可能值；
(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；
(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.

3 . 设数列的前项和为.
(1)若是等比数列，，，求；
(2)若是等差数列，，，若是数列中的项，求所有满足条件的正整数组成的集合；
(3)若数列满足且，是否存在无穷数列，使得？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由.

4 . 已知数列． 若存在，使得为递减数列，则称为“型数列”．
(1)是否存在使得有穷数列为型数列？若是，写出的一个值；否则，说明理由；
(2)已知2022项的数列中，（）． 求使得为型数列的实数的取值范围；
(3)已知存在唯一的，使得无穷数列是型数列． 证明：存在递增的无穷正整数列，使得为递增数列，为递减数列．

5 . 已知数列满足.
(1)当时，求证：数列不可能是常数列；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.

6 . 设有数列，对于给定的，记满足不等式：的构成的集合为，并称数列具有性质.
(1)若，数列： 具有性质 ， 求实数 的取值范围；
(2)若，数列是各项均为正整数且公比大于1的等比数列，且数列不具有性质，设，试判断数列是否具有性质，并说明理由；
(3)若数列具有性质，当 时， 都为单元素集合，求证：数列是等差数列.

7 . 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求数列的前项和；
(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.

8 . 如果数列每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数满足，则称数列具有性质.
(1)若（均为正实数），判断数列是否具有性质；
(2)若数列都具有性质，证明：数列也具有性质；
(3)设实数，方程的两根为，若对任意恒成立，求所有满足条件的.