1 . 已知是无穷数列，对于k，，给出三个性质：
①（）；
②（）；
③（）
(1)当时，若（），直接写出m的一个值，使数列满足性质②，若满足求出的值；
(2)若和时，数列同时满足条件②③，证明：是等差数列；
(3)当，时，数列同时满足条件①③，求证：数列为常数列．

2 . 设无穷数列的前项和为为单调递增的无穷正整数数列，记，，定义．
(1)若，写出的值；
(2)若，求；
(3)设求证：对任意的无穷数列，存在数列，使得为常数列．

3 . 设为给定的正奇数，定义无穷数列：若是数列中的项，则记作.
(1)若数列的前6项各不相同，写出的最小值及此时数列的前6项；
(2)求证：集合是空集；
(3)记集合正奇数，求集合.（若为任意的正奇数，求所有数列的相同元素构成的集合.）

4 . 若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.

5 . 给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记．
(1)若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；
(2)求证：若，则有；
(3)若，常数使得恒成立，求的最大值．

6 . 已知无穷数列满足.
(1)若对于任意，有.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求证：“”是“，，，，为等差数列”的充分不必要条件.
(2)若，对于任意，有，求证：数列不含等于零的项.

7 . 已知和是各项均为正整数的无穷数列，如果同时满足下面两个条件：
①和都是递增数列；
②中任意两个不同的项的和不是中的项.
则称被屏蔽，记作.
(1)若，.
（i）判断是否成立，并说明理由；
（ii）判断是否成立，并说明理由.
(2)设是首项为正偶数，公差是的无穷等差数列，判断是否存在数列，使得.如果存在，写出一个符合要求的数列；如果不存在，说明理由；
(3)设是取值于正整数集的无穷递增数列，且对任意正整数，存在正整数，使得.证明：存在数列，使得.

8 . 设数列满足：，其中表示不超过实数的最大整数．若被正整数除所得的余数为，则记，若数列中不同的两项被除所得余数相同，则记．
(1)直接写出；
(2)若，证明：；
(3)证明：数列有无穷多项是7的倍数．

9 . 对于有限数列，如果，则称数列具有性质P.
(1)判断数列和是否具有性质，并说明理由;
(2)求证：若数列具有性质，则对任意互不相等的，有;
(3)设数列具有性质，每一项均为整数，，求的最小值.

10 . 定义“三角形数”：对于给定的正整数，若存在正整数，使得，则称是“三角形数”；否则，不是“三角形数”．
已知数列满足，且．
(1)写出的值；
(2)证明：当且仅当是“三角形数”时，是正整数；
(3)证明：数列的通项公式为，其中表示不超过的最大整数，如，，．