1 . 已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项．
（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，为前n项和，证明：．

2 . 已知函数的定义域为，数列满足，，(实数是非零常数).
（1）若，且数列是等差数列，求实数的值；
（2）若数列满足，求通项公式；
（3）若，数列是等比数列，且，，试证明：.

3 . 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列、的通项公式；
（3）设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

4 . 若无穷数列满足：存在，对任意的，都有（为常数），则称具有性质
（1）若无穷数列具有性质，且，求的值
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由.
（3）设无穷数列既具有性质，又具有性质，其中互质，求证：数列具有性质

5 . 已知正项数列的前n项和是，满足（为常数）
（1）记，证明：数列是等差数列；
（2）若，成等比数列，
①求数列的通项公式；
②设，其中，且对任意的正整数k，仍在数列中，求q的所有值.

6 . 已知数列满足，，，.
（1）若，求，的值；
（2）证明：对任意正实数，成等差数列；
（3）若()，，求数列的通项公式.

7 . 设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.
（1）若等比数列为阶“期待数列”，求公比；
（2）若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列，求该数列的通项公式；
（3）记阶“期待数列” 的前项和为，求证；数列不能为阶“期待数列”.

8 . 数列是等比数列，公比大于，前项和，是等差数列，已知，，，.
（1）求数列的通项公式，；
（2）设的前项和为，
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，证明的前项和.

9 . 已知数列满足，等差数列满足，
（1）分别求出，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．

10 . 已知是数列的前项和，对任意，都有；
（1）若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；
（2）若，求证：数列是等比数列，并求此时数列的通项公式；
（3）设，若，求实数的取值范围.