名校
解题方法
1 . 若数列
满足
，其中
，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当
时.
（ⅰ）求证：数列
是等差数列，并写出数列
的通项公式；
（ⅱ）
，求
.
(2)若是M数列
，且
，证明：存在正整数n.使得
.
满足，其中，则称数列为M数列.(1)已知数列
为M数列，当时.（ⅰ）求证：数列
是等差数列，并写出数列的通项公式；（ⅱ）
，求.(2)若
是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
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2024-03-25更新
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1228次组卷
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3卷引用：天津和平区2024届高三一模数学试题
2 . 已知数列满足
．
(1)求的通项公式；
(2)若数列
满足，
，求证：
．
满足．(1)求
的通项公式；(2)若数列
满足，，求证：．
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名校
解题方法
3 . 有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为
，公差为
，并且
成等差数列.
(1)当
时，求
，
，
以及
；
(2)证明
（
，
，
是m的多项式），并求
的值；
(3)当
，
时，将数列
分组如下：
（每组数的个数构成等差数列），设前
组中所有数之和为
，求数列
的前n项和
.
，公差为，并且成等差数列.(1)当
时，求，，以及；(2)证明
（，，是m的多项式），并求的值；(3)当
，时，将数列分组如下：（每组数的个数构成等差数列），设前组中所有数之和为，求数列的前n项和.
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4 . 已知数列
满足
，且对任意
均有
．
(1)设
，证明
为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)已知
，求
．
满足，且对任意均有．(1)设
，证明为等差数列；(2)求数列
的通项公式；(3)已知
，求．
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名校
5 . 已知
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于
，定义集合
，设
为集合
中的元素个数，若
时，规定
.
(1)若
，写出
及
的值；
(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合
，求证：
且
.
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.(1)若
，写出及的值；(2)若数列
是等差数列，求数列的通项公式；(3)设集合
，求证：且.
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2024-01-21更新
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1333次组卷
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7卷引用：广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三下学期高考冲刺考试（一）数学试卷
广东省江门市开平市忠源纪念中学2024届高三下学期高考冲刺考试（一）数学试卷江苏省常州市华罗庚中学2024届高三下学期4月二模训练数学试卷北京市朝阳区2024届高三上学期期末数学试题（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）讲（已下线）2024年高考数学二轮复习测试卷（北京专用）（已下线）黄金卷01（2024新题型）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编
名校
解题方法
6 . 在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得
，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，
为q除
所得的余数，为数列的前n项和.
(1)若，
，
，求
；
(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同；
(3)证明：
为完全平方数.
，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和.(1)若
，，，求；(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列
的前q项中任意两项均不相同；(3)证明：
为完全平方数.
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2023·全国·模拟预测
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解题方法
7 . 已知为数列的前
项和，
是公差为1的等差数列．
(1)证明：数列
是等比数列，并求的通项公式；
(2)若
，数列的最大项为，求
的值．
为数列的前项和，是公差为1的等差数列．(1)证明：数列
是等比数列，并求的通项公式；(2)若
，数列的最大项为，求的值．
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8 . 在如图所示的平面四边形
中，
的面积是
面积的两倍，又数列满足
，当
时，
，记
．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：
．
中，的面积是面积的两倍，又数列满足，当时，，记．(1)求数列
的通项公式；(2)求证：
．
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2023-04-01更新
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1629次组卷
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3卷引用：山东省新高考联合质量测评2023届高三下学期3月联考数学试题
解题方法
9 . 已知
为实数，数列满足：①
；②
．若存在一个非零常数
，对任意
，
都成立，则称数列为周期数列．
(1)当
时，求
的值；
(2)求证：存在正整数，使得
；
(3)设是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得
．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由．
为实数，数列满足：①；②．若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列为周期数列．(1)当
时，求的值；(2)求证：存在正整数
，使得；(3)设
是数列的前项和，是否存在实数满足：①数列为周期数列；②存在正奇数，使得．若存在，求出所有的可能值；若不存在，说明理由．
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解题方法
10 . 已知首项不为0的等差数列，公差
（
为给定常数），为数列前项和，且
为
所有可能取值由小到大组成的数列.
(1)求；
(2)设
为数列
的前项和，证明：
.
，公差（为给定常数），为数列前项和，且为所有可能取值由小到大组成的数列.(1)求
；(2)设
为数列的前项和，证明：.
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2023-02-22更新
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4388次组卷
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13卷引用：山东省菏泽市2023届高三下学期一模联考数学试题
山东省菏泽市2023届高三下学期一模联考数学试题山东省烟台市芝罘区高中协同联考2023届高三三模数学试题（已下线）专题4 数列专题13数列（解答题）（已下线）专题15 数列求和-1（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练山东省淄博市第一中学2022-2023学年高二下学期第一次学习质量检测数学试题（已下线）第四节 数列求和 （讲）山东省青岛市青岛第五十八中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题（已下线）专题05 等比数列与数列综合求和-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）（已下线）数列与不等式专题04数列求和（裂项求和）（已下线）专题05 数列在高中数学其他模块的应用（九大题型+过关检测专训）-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》（人教A版2019选择性必修第二册）
