1 . 记首项为1的递增数列为“-数列”．
(1)已知正项等比数列，前项和为，且满足：．求证：数列为“-数列”；
(2)设数列为“-数列”，前项和为，且满足．（注：）
①求数列的通项公式；
②数列满足，数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：）

2 . 在数列中，若，则称数列为“泛等差数列”，常数d称为“泛差”.已知数列是一个“泛等差数列”，数列满足.
(1)若数列的“泛差”，且，，成等差数列，求；
(2)若数列的“泛差”，且，求数列的通项.

3 . 如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形(为坐标原点)的边长为，

(1)求的值
(2)记为数列的前n项和，探究与的关系，求的通项公式.

4 . 图（1）是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点，将原三角形剖分成4个三角形（图（2）），再分别连接图（2）中间的一个小三角形三边的中点，又可将原三角形剖分成7个三角形（图（3））．依此类推，第n个图中原三角形被剖分为个三角形．

(1)求数列的通项公式；
(2)第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形？

5 . “绿水青山就是金山银山”，中国一直践行创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，着力促进经济实现高质量发展，决心走绿色、低碳、可持续发展之路．新能源汽车环保、节能，以电代油，减少排放，既符合我国的国情，也代表了世界汽车产业发展的方向工业部表示，到2025年我国新能源汽车销量占总销量将达20%以上.2021年，某集团以20亿元收购某品牌新能源汽车制造企业，并计划投资30亿元来发展该品牌.2021年该品牌汽车的销售量为10万辆，每辆车的平均销售利润为3000元．据专家预测，以后每年销售量比上一年增加10万辆，每辆车的平均销售利润比上一年减少10%．
(1)若把2021年看作第一年，则第n年的销售利润为多少亿元？
(2)到2027年年底，该集团能否通过该品牌汽车实现盈利？
（实现盈利即销售利润超过总投资，参考数据：，，）

6 . 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}满足：点（n，b_n）在曲线y＝上，a₁＝b₄，___，数列{}的前n项和为T_n．
从①S₄＝20，②S₃＝2a₃，③3a₃﹣a₅＝b₂这三个条件中任选一个，补充到上面问题的横线上并作答．
(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
(2)是否存在正整数k，使得T_k＞，且b_k＞？若存在，求出满足题意的k值；若不存在，请说明理由．

7 . 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据，，）

8 . 已知等差数列的首项为，公差为，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，…，，…是从中抽取的部分项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.