1 . 学习资料：有一正项数列，若作商，则当时，当时，.这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列的前项和为的前项和为.
(1)求；
(2)求证：.

2 . 某地区2020年产生的生活垃圾为20万吨，其中6万吨垃圾以环保方式处理，剩余14万吨垃圾以填埋方式处理，预测显示：在以2020年为第一年的未来十年内，该地区每年产生的生活垃圾量比上一年增长5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量比上一年增加1.5万吨，剩余的垃圾以填埋方式处理．根据预测，解答下列问题：
(1)求2021年至2023年，该地区三年通过填埋方式处理的垃圾共计多少万吨？（结果精确到0.1万吨）
(2)该地区在哪一年通过环保方式处理的垃圾量首次超过这一年产生生活垃圾量的50%？

3 . 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.
(1)若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；
(2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）

4 . 政府鼓励创新、创业，银行给予低息贷款，一位大学毕业生想自主创业，经过市场调研，测算，有两个方案可供选择．方案1：开设一个科技小微企业，需要一次性贷款40万元，第一年获利是贷款额的10%，以后每年获得比上一年增加25%；方案2：开设一家食品小店，需要一次性贷款20万元，第一年获利是贷款额的15%，以后每年都比上一年增加获利1.5万元．两种方案使用期限都是10年，到期一次性还本付息，两种方案均按年息2%的复利计算（参考数据：1.25⁹=7.45，1.25¹⁰=9.3，1.02⁹=1.20，1.02¹⁰=1.22）
(1)10年后，方案1，方案2的总获利分别有多少万元？
(2)10年后，哪一种方案的利润较大？（利润=总获利－贷款－贷款总利息）

5 . 已知正实数列满足，当时，记集合，且集合中的最大元素为.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)记数列前n项和为，证明：存在正实数，对于任意的正实数与整数n>1，都有.注：对于任意实数a，b，定义.

6 . 已知，求证：．

7 . 在两位数的正整数中，有多少个除以余的数？求它们的和．

8 . 记数列的前项和为，集合，若对任意，恒有，则称具有性质.
（1）若的前项和为，判断是否具有性质，并说明理由；
（2）若为等差数列，首项，公差，且具有性质，求的值.

9 . 已知数列的前项和．设集合，集合，．
（1）求数列的通项公式；
（2）当，时，求集合中所有元素的和；
（3）设，当时，求．

10 . 为了保障幼儿园儿童的人身安全，甲、乙两省计划若干时间内两省共新购1000辆校车．其中，甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每个月的新购量比上一个月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，以后每个月比上一个月多新购辆．
（1）求经过个月，两省新购校车的总数；
（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求的最小值．