1 . 2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元．
(1)问创新公司第几年开始获利？
(2)经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？

2 . 在平面直角坐标系中，我们把点称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点进行赋值记为，例如，.

   

(1)求;
(2)求证:;
(3)如果满足方程，求的值.

3 . 数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵.对于平面向量，其模定义为.类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模.弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用.
(1)，，矩阵，求使的的最小值.
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.

4 . 已知，且，函数.
(1)记为数列的前项和.证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若有3个零点，求实数的取值范围.

5 . 对于数列，若满足恒成立的最大正数为，则称为“数列”．
(1)已知等比数列的首项为1，公比为，且为“数列”，求；
(2)已知等差数列与其前项和均为“数列”，且与的单调性一致，求的通项公式；
(3)已知数列满足，若且，证明：存在实数，使得是“数列”，并求的最小值．

6 . 已知集合，设是等差数列的前项和，若的任意一项，且首项是中的最大值，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求的值.

7 . 已知集合是公比为2的等比数列且构成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是等差数列，将集合的元素按由小到大的顺序排列构成的数列记为.
①若，数列的前项和为，求使成立的的最大值；
②若，数列的前5项构成等比数列，且，试写出所有满足条件的数列.

8 . 对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列；记，称数列为数列的二阶差分数列，…，一般地，对于，记，规定：，称为数列的阶差分数列．对于数列，如果（为常数），则称数列为阶等差数列．
(1)数列是否为阶等差数列，如果是，求值，如果不是，请说明为什么？
(2)请用表示，并归纳出表示的正确结论（不要求证明）；
(3)请你用（2）归纳的正确结论，证明：如果数列为阶等差数列，则其前项和为；
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”，巧合用了2024个球．第1层有1个球，第2层有3个，第3层有6个球，…，每层都摆放成“正三角形”，从第2层起，每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球，问：这位同学共堆积了多少层？

9 . （1）求（）；
（2）求（）（个数的平方和以及立方和公式可以通过裂项相消杀和推导）．

10 . 已知是等差数列，，.
(1)求的通项公式和；
(2)已知为正整数，记集合的元素个数为数列.若的前项和为，设数列满足，，求的前项的和.