1 . 随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为.而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率为；前一天选择套餐的学生第二天选择A套餐的概率为，选择套餐的概率也是，如此往复.记同学甲第天选择套餐的概率为.
(1)求同学甲第二天选择套餐的概率；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择A类套餐的人数，用表示这100名学生中恰有名学生选择A类套餐的概率，求取最大值时对应的的值.

2 . 佩尔数列是一个呈指数增长的整数数列。随着项数越来越大，其后一项与前一项的比值越来越接近于一个常数，该常数称为白银比，白银比和三角平方数､佩尔数及正八边形都有关系。记佩尔数列为，且，则（       ）

A．数列是等比数列，公比为

B．数列是等比数列，公比为

C．

D．白银比为

4 . 新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这四个选项，四个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立.某次多项选择题专项训练中，共有道题，正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，并且规定若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；若第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为.
(1)求第n题正确选项为两个的概率；
(2)请根据期望值来判断：第二题是选一个选项还是选两个选项，更能获得较高分.

5 . 已知数列的前项和为，，是与的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，若数列是递增数列，求的取值范围．
(3)设，且数列的前项和为，求证：．

6 . 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，则下列结论不正确的是（       ）

A．，

B．数列是等比数列

C．数列是等比数列

D．的数学期望

8 . 历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为.例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：.高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是（       ）

A．	B．为等比数列
C．	D．信封均被投错的概率大于

9 . 已知数列的前n项和为，，．
(1)求，并证明数列是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和．

10 . 已知数到满足，，记，则________；数列的通项公式为________．