名校
1 . 学校食堂为了减少排队时间，从开学第
天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第
天选择米饭套餐的概率为
；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为
.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学开学第
天中午选择米饭套餐的概率为
证明：当
时，
.
天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.(1)求该同学开学第
天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学开学第
天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.
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7日内更新
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1268次组卷
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3卷引用：山东省菏泽第一中学人民路校区2024届高三下学期3月月考数学试题
名校
解题方法
2 . 已知等比数列
满足
，
．
(1)求数列的通项公式；
(2)若是递增数列，若
，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若不是递增数列，
，求
的最小值．
满足，．(1)求数列
的通项公式；(2)若
是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围；(3)若
不是递增数列，，求的最小值．
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名校
解题方法
3 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第
天选择米饭套餐的概率为
，
（i）证明：
为等比数列；
（ii）证明：当时，
.
；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第
天选择米饭套餐的概率为，（i）证明：
为等比数列；（ii）证明：当
时，.
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2024-01-26更新
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1362次组卷
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4卷引用：山西省太原市2024届高三上学期期末学业诊断数学试题
山西省太原市2024届高三上学期期末学业诊断数学试题浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题（已下线）第4讲：概率与数列的结合问题【讲】（已下线）题型27 5类概率统计大题综合解题技巧
4 . 已知
为等差数列
的前n项和，
为等比数列
的前
项和，
，
.
(1)若
，求
的值；
(2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得单调递增，求出的通项公式以及.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
为等差数列的前n项和，为等比数列的前项和，，.(1)若
，求的值；(2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得
单调递增，求出的通项公式以及.条件①：
；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
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5 . 某集团下属公司在2023年的年初有资金
万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为
.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金
万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为
万元.
(1)求；
(2)若第
（为正整数）年年底公司的剩余资金超过
万元，求的最小值.
万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元.(1)求
；(2)若第
（为正整数）年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值.
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2023-11-23更新
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296次组卷
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3卷引用：江苏省南通市如东高级中学2024届高三上学期期中学情检测数学试题
6 . 设数列的首项
为常数
，且
.
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
，求数列的通项及前项的和；
(3)若是严格增数列，求的取值范围.
的首项为常数，且.(1)证明：
是等比数列；(2)若
，求数列的通项及前项的和；(3)若
是严格增数列，求的取值范围.
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2023-06-11更新
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422次组卷
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3卷引用：上海市曹杨第二中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
名校
7 . 兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000
的面团经过第一次拉伸成长为100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为
的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）
的面团经过第一次拉伸成长为100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）
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解题方法
8 . 已知为等差数列，为等比数列，
．
(1)求和的通项公式；
(2)令
，求数列
的前n项和；
(3)记
．是否存在实数
，使得对任意的
，恒有
？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
为等差数列，为等比数列，．(1)求
和的通项公式；(2)令
，求数列的前n项和；(3)记
．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
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名校
9 . 记实数
、
中较小者为
，例如
，
，对于无穷数列，记
.若对任意
均有
，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为
，
，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为
的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列
满足
、
为正实数，且
，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有
.
、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.(1)已知数列
、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；(2)已知首项为
，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；(3)若数列
满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.
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2022-11-06更新
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1382次组卷
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8卷引用：上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题
上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题（已下线）第10讲 数学归纳法与数列综合应用 - 1（已下线）专题06数列必考题型分类训练-3上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题1 数学归纳法及其变种 微点3 数学归纳法综合训练（已下线）模块九 数列-2（已下线）专题8 等比数列的单调性 微点1 判断等比数列单调性的方法（已下线）核心考点06数列-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）
10 . 某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，
两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.
(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
(2)至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：
，
，
）
两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.(1)在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；
(2)至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：
，，）
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2022-01-26更新
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557次组卷
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3卷引用：浙江省湖州市2021-2022学年高二上学期期末数学试题
