1 . 已知递增等比数列的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列.（1）则的公比为________；（2）设，则的表达式为_______.

2 . 已知数列，的首项，且满足，，其中，设数列，的前项和分别为，．
（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求．
（Ⅱ）若常数且对任意的，恒有，求的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下且同时满足以下两个条件：
（ⅰ）若存在唯一正整数的值满足；
（ⅱ）恒成立．试问：是否存在正整数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

3 . 各项均为正数的数列的前项和为，已知点在函数 的图象上，且 ．
(1)求数列的通项公式及前项和；
(2)已知数列满足，设其前项和为，若存在正整数，使不等式有解，且恒成立，求的值．

4 . 设函数（），已知数列是公差为2的等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；　（Ⅱ）当时，求证：.

5 . 我们把一系列向量排成一列，称为向量列，记作，又设，假设向量列满足：，
.
(1)证明数列是等比数列；
(2)设表示向量间的夹角，若，记的前项和为，求；
(3)设是上不恒为零的函数，且对任意的，都有，若，，求数列的前项和．

6 . 已知等差数列和等比数列，其中的公差不为0．设是数列的前项和．若是数列的前3项，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列为等差数列，求实数；
(3)构造数列若该数列前项和，求的值．

7 . 设数列满足性质P： ，.
（1）①若是等差数列，求；
②是否存在具有性质P的等比数列？
（2）求证：.

8 . 已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．

9 . 设数列满足，.
(1)若，求的值；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)设数列满足，且，若存在实数，对任意都有成立，试求的最小值.

10 . 设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记（），
（１）求数列的通项公式；
（2）记（），设数列的前和为，求证：对任意正整数，都有．