1 . 已知数列满足，设.
(1)证明：是等比数列；
(2)求.

2 . 已知数列的首项为1，对任意的，定义.
(1)若，求；
(2)若，且.
（i）当时，求数列的前项的和；
（ii）当时，求证：数列中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.

3 . 已知各项都为正数的数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝32ⁿ，a₁＝1，
(1)若b_n＝a_n－2ⁿ，求证：{b_n}是等比数列；
(2)求数列{a_n}的前n项和S_n．

4 . 已知数列是首项为1的等差数列，数列满足，且，.
(1)证明数列是等比数列并求的通项公式；
(2)令，求数列的前项和

5 . 给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.
(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；
(2)若数列满足：；
（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若，求数列的前项和.

6 . 已知数列满足，，令
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列________的前项和，从条件①；②；③中任选一个，补充在横线中，并给予解答，若有多个解答，则按照第一个解答评分.

7 . 已知数列的通项公式为，数列的首项为.
(1)若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；
(2)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和.

8 . 已知数列满足，．
（1）证明：数列为等比数列．
（2）求数列的前项和．

9 . 设数列满足，其中A，B是两个确定的实数，
（1）若，求的前n项和；
（2）证明：不是等比数列；
（3）若，数列中除去开始的两项外，是否还有相等的两项，并证明你的结论.

10 . 已知数列的首项，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）数列的前项和.