1 . 已知为正整数，数列，记.对于数列，总有，则称数列为项数列.若数列，均为项数列，定义数列，其中.
(1)已知数列，求的值；
(2)若数列均为项数列，求证：；
(3)对于任意给定的正整数，是否存在项数列，使得，并说明理由.

2 . 已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)表示不超过x的最大整数，如，．若，是数列的前n项和，求．

3 . 已知数列中，关于的函数有唯一零点，记．
(1)判断函数的奇偶性并证明；
(2)求；
(3)求证：；

5 . 为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如.
(1)求；
(2)求数列的前2022项和.

6 . 已知是数列的前n项和，
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如，．

7 . 记数列{a_n}的前n项积为T_n，且．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和S_n．

8 . 在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

9 . 已知数列满足，若记数列前项和为，则对于任意的，.
（1）求证：是等比数列，并写出的通项公式和其前项和的表达式；
（2）已知数列满足，，设数列的前项和为.求证：.

10 . 记数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁＝1，S_n+1＝4a_n+1．设b_n＝a_n+12a_n．
（1）证明：数列{b_n}为等比数列；
（2）设c_n＝|b_n100|，T_n为数列{c_n}的前n项和，求T₁₀．