1 . 某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）．

（1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
（2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍．
（i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求．
（ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？

2 . 已知实数a＞0，b＞0，a＋2b＝2
(1)求的最小值；
(2)求a²＋4b²＋5ab的最大值.

4 . 某建筑队在一块长的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点在地块的对角线MN上，B，分别在边AM，AN上.

(1)若m，宽m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m？
(2)若矩形AMPN的面积为m，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.

5 . 已知，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.

6 . （1）已知，则取得最大值时的值为？
（2）已知，则的最大值为？
（3）函数 的最小值为？

7 . 已知正数满足求的最大值.

8 . 已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．

9 . 在中，角，，的对边分别是，，，且已知的外接圆半径为，已知________，在以面下三个条件中任选一个条件填入横线上，完成问题（1）和（2）：
①，②，③．
问题：（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值．

10 . 如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段，为保证参赛运动员的安全，限定.

（1）求的值和两点间的直线距离；
（2）折线段赛道最长为多少？求此时点的坐标.