1 . 近年来，纳米品的多项技术和方法在水软化领域均有重要应用.纳米晶体结构众多，如图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为n的几何体，则该结构的纳米晶个体的体积为__________ .
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2023-06-28更新
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210次组卷
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4卷引用：江苏省南通市海门中学2022-2023学年高二下学期6月学情调研数学试题
江苏省南通市海门中学2022-2023学年高二下学期6月学情调研数学试题江苏南通市海门中学2023-2024学年高一下学期5月份学情调研数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点1 跨学科交汇问题（一）【培优版】（已下线）8.3简单几何体的表面积与体积【第三课】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
2 . 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱所组成的公共部分为“牟合方盖”（如图所示），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为
，若“牟合方盖”的体积为
，则正方体的体积为______ ，正方体的外接球的表面积为______ .
，若“牟合方盖”的体积为，则正方体的体积为
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名校
解题方法
3 . 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.已知在鳖臑
中，
平面
，
，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为_______ .
中，平面，，则该鳖臑的外接球和内切球的半径之比为
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2023-05-05更新
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1836次组卷
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4卷引用：江苏省无锡市辅仁高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
江苏省无锡市辅仁高级中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题（已下线）模块四 专题2 小题进阶提升练（ 2 ）（人教B）辽宁省沈阳市第二十中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题辽宁省抚顺德才高级中学2023-2024学年高二上学期期初考试数学试题
4 . 紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等． 其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据 (单位:cm)，那么该壶的容量约为_________ ．
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(A)
(B) (C) (D)
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2023-03-27更新
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830次组卷
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2卷引用：第13章 立体几何初步（A卷·基础提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（苏教版2019必修第二册）
5 . 中国某些地方举行婚礼时要在吉利方位放一张桌子，桌子上放一个装满粮食的升斗，斗面用红纸糊住，斗内再插一杆秤、一把尺子，寓意粮食满园、称心如意、十全十美，下图为一种婚庆升斗的规格，该升斗外形是一个正四棱台，上、下底边边长分别为
，
，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积为_________ 
．
，，侧棱长为，忽略其壁厚，则该升斗的容积为．
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2023-03-11更新
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2042次组卷
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7卷引用：江苏省南通市基地大联考2023届高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题
江苏省南通市基地大联考2023届高三下学期3月重点热点诊断测试数学试题江苏省徐州市第七中学2024届高三上学期1月调研考试数学试题2023届高三新高考基地学校大联考3月月考数学试题（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2023届高三冲刺模拟4数学试题（已下线）2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题变式题11-14云南省开远市第一中学校2023届高三下学期6月月考数学试题广东省茂名市信宜市第二中学2024届高三上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
6 . 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点
，满足
，
平面，
，若三棱锥
的体积为
，则该“鞠”的体积的最小值为______ .
，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为
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2023-02-09更新
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761次组卷
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8卷引用：第19讲 空间图形的表面积和体积
（已下线）第19讲 空间图形的表面积和体积（已下线）专题强化三 多面体与球有关的内切、外接问题-2022-2023学年高一数学《考点·题型·技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）（已下线）专题11 空间图形的表面积与体积-期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）河南省平许济洛2022-2023学年高三第二次质量检测文科数学试题（已下线）第八章立体几何初步（综合检测卷）（已下线）2023年高考数学（文）终极押题卷（已下线）专题11 与球有关的切接问题综合（2） - 期中期末考点大串讲（已下线）核心考点05简单几何体的表面积与体积-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
7 . 柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体．如图，在一个棱长为
的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为________ 
．
的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为．
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2022-12-13更新
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1804次组卷
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6卷引用：江苏省盐城市高级实验中学2023届高三三模数学试题
江苏省盐城市高级实验中学2023届高三三模数学试题河南省新未来联盟2023届高三上学期12月联考理科数学试题（已下线）专题4 “素材创新”类型湖北省襄阳市襄州区第一高级中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学试题陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三下学期教学质量检测(五)文科数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 交汇世界文化 微点2 与世界文化遗产有关的的立体几何问题综合训练【基础版】
名校
解题方法
8 . 《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭
，其中上底面与下底面的面积之比为
，
，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为
，则方亭的体积为______ .
，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为
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2022-08-26更新
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1713次组卷
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13卷引用：13.3 空间图形的表面积和体积（分层练习）
（已下线）13.3 空间图形的表面积和体积（分层练习）河南省信阳市2021-2022学年高一下学期期末数学试题河南省禹州市高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题湖北省重点高中智学联盟2022-2023学年高二上学期10月联考数学试题（已下线）第23练 几何体的体积与表面积（已下线）8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（精练）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)（已下线）第21讲 简单几何体的表面积与体积7种常考题型（1）安徽省亳州市第二完全中学2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题（A卷）湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题广东省茂名市高州中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（1-3班）（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题三 参数法 微点1 参数法（一）【培优版】陕西省西安市高新第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）专题03 基本立体图形、直观图、表面积与体积-期末真题分类汇编（新高考专用）
9 . “迪拜世博会”上，中国馆取型中国传统灯笼，寓意希望和光明．某人制作了一个中国馆的实心模型，模型可视为内外两个同轴圆柱组成．已知内层底面直径为
，外层底面直径为
，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上，此模型的体积为___________ 
．
，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在一个直径为的球面上，此模型的体积为．
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2022-06-24更新
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1198次组卷
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4卷引用：江苏省南京市江宁区2021-2022学年高二下学期期末数学试题
江苏省南京市江宁区2021-2022学年高二下学期期末数学试题（已下线）模块八 专题8 以数学文化新情景为背景的压轴题2024年新高考Ⅰ卷浙大优学靶向精准模拟数学试题（八）湖南省长沙市长郡中学2024届高考适应考试（四）数学试题
名校
10 . 《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为
，下底直径为
，上下底面间的距离为
，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是________ 
；卧足杯的容积是________ 
（杯的厚度忽略不计）.
，下底直径为，上下底面间的距离为，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是；卧足杯的容积是（杯的厚度忽略不计）.
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2022-04-03更新
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2902次组卷
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7卷引用：江苏省华罗庚中学等三校2021-2022学年高三下学期4月联合调研数学试题
江苏省华罗庚中学等三校2021-2022学年高三下学期4月联合调研数学试题江苏省盐城市阜宁县东沟中学2022届高三下学期第一次综合训练数学试题江苏省盐城市阜宁县东沟中学2022-2023学年高三上学期第一次综合训练数学试题福建省2022届高三诊断性检测数学试题（已下线）专题22 祖暅原理河北省2022届高考临考信息（预测演练）数学试题（已下线）高一 模块3 专题1 第3套 小题进阶提升练
