名校
1 . 如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
分别为
的中点，
为线段
上一点，且
．
平面
；
(2)若四棱锥为正四棱锥，且
，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比．
中，底面是平行四边形，分别为的中点，为线段上一点，且．
平面；(2)若四棱锥
为正四棱锥，且，求四棱锥的外接球与正四棱锥的体积之比．
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2 . 如图，在三棱柱
中，
，
，
平面
．
平面
；
(2)若点
在棱
上，当
的面积最小时，求三棱锥
外接球的体积．
中，，，平面．
平面；(2)若点
在棱上，当的面积最小时，求三棱锥外接球的体积．
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解题方法
3 . 已知E，F分别为
的重心和外心，D是BC的中点，
，
．
(1)求BE；
(2)如图，P为平面ABC外一点，
平面ABC，二面角
的正切值为4．
①求证：
；
②求三棱锥
的外接球的体积．
的重心和外心，D是BC的中点，，． (1)求BE；
(2)如图，P为平面ABC外一点，
平面ABC，二面角的正切值为4．①求证：
；②求三棱锥
的外接球的体积．
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名校
4 . 在正四棱柱
中，
，M是
的中点．
(1)证明：
平面
．
(2)若正四棱柱的表面积是10，求该正四棱柱的外接球的体积．
中，，M是的中点． (1)证明：
平面．(2)若正四棱柱的表面积是10，求该正四棱柱的外接球的体积．
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解题方法
5 . 如图，在正四棱柱中，，
∥平面MAC．
(1)证明：M是的中点；
(2)若正四棱柱的外接球的体积是
，求该正四棱柱的表面积．
中，，∥平面MAC． (1)证明：M是
的中点；(2)若正四棱柱的外接球的体积是
，求该正四棱柱的表面积．
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2023-07-28更新
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544次组卷
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2卷引用：安徽省宣城市2022-2023学年高一下学期期末调研测试数学试卷
6 . 如图，在正六棱锥
中，
为底面中心，
，
．
(1)若
，
分别是棱
，
的中点，证明：
平面
；
(2)若该正六棱锥的顶点都在球
的表面上，求球的表面积和体积．
中，为底面中心，，． (1)若
，分别是棱，的中点，证明：平面；(2)若该正六棱锥的顶点都在球
的表面上，求球的表面积和体积．
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2023-07-11更新
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459次组卷
|
2卷引用：辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试题
7 . 在中，
、
、
分别为内角
、
、
的对边，且
，分别以
、
、
所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成
个几何体，其体积分别记为
、
、
．
(1)求证：
；
(2)求以所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．
中，、、分别为内角、、的对边，且，分别以、、所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成个几何体，其体积分别记为、、．(1)求证：
；(2)求以
所在直线为轴旋转所形成几何体的内切球的体积．
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8 . 三个球的半径的比是1∶2∶3.求证：其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍.
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2022高三·全国·专题练习
9 . 如图，在正三棱锥
中，是高
上一点，
，直线
与底面所成角的正切值为
.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
外接球的体积.
中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.（1）求证：
平面；（2）求三棱锥
外接球的体积.
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10 . 假设半径为r的圆的面积为
，我们用下面的方法推出圆的周长公式
．
如图，设h是一个正数，考查半径分别为r和
的两个同心圆所围成的圆环（图中阴影区域）．这个圆环的面积为
．
可以看出，
，其中
是以小圆周长为长、h为宽的矩形的面积，
是以大圆周长为长、h为宽的矩形的面积．
所以有
，即
．
如果h越来越小（趋于0），那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c，且
趋于0，因此我们得到
，
从而．
用类似的方法证明：假设半径为R的球的体积为
，那么球的表面积为
．
，我们用下面的方法推出圆的周长公式．如图，设h是一个正数，考查半径分别为r和
的两个同心圆所围成的圆环（图中阴影区域）．这个圆环的面积为．可以看出，
，其中是以小圆周长为长、h为宽的矩形的面积，是以大圆周长为长、h为宽的矩形的面积．所以有
，即．如果h越来越小（趋于0），那么大圆的周长C趋近于小圆的周长c，且
趋于0，因此我们得到，从而
．用类似的方法证明：假设半径为R的球的体积为
，那么球的表面积为．
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