1 . 如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是的中点．

(1)计算：；
(2)求证：；
(3)求异面直线和所成角的余弦值．

2 . 如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，．

(1)，，求的最小值；
(2)求证:平面．

3 . 如图所示，平行六面体中，，.

   

(1)用向量表示向量；
(2)求.

4 . n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.

5 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为1，且与的夹角都等于60°，M在棱上，，设，．

(1)试用表示出向量；
(2)求与所成的角的余弦值．

6 . 在平行六面体中，，，为与的交点.
(1)用向量表示；
(2)求线段的长及向量与的夹角.

7 . 如图，在直三棱柱中，，棱，N为的中点.

(1)求的长；
(2)求.

8 . 已知正四面体的棱长为1，如图所示.

(1)确定向量在直线上的投影向量，并求·；
(2)确定向量在平面上的投影向量，并求.

9 . 已知在正四棱柱中，，，E为的中点，F为的中点．求证：
(1)且；
(2)．

10 . 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：

(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.