名校
1 . 如图，在三棱柱
中，
，
为
的中点，
，
.
平面
；
(2)若
平面
，点
在棱
上，且
平面，求直线
与平面所成角的正弦值.
中，，为的中点，，.
平面；(2)若
平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值.
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2024-04-19更新
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706次组卷
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3卷引用：湖南省岳阳市第一中学2024届高三下学期高考适应性考试数学试题
2 . 如图所示，四边形
为梯形，
，
，
，以
为一条边作矩形
，且
，平面
平面．
；
(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形
在另一个平面上的正投影为
，它们的面积分别记为
和
，则
．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段
上存在点
，使得
．请你对乙同学发现的结论进行证明．
为梯形，，，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
；(2)甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为
，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
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名校
3 . 如图，在三棱柱中，
，
，四边形
是菱形．
；
(2)若
，求二面角
的正弦值．
中，，，四边形是菱形．
；(2)若
，求二面角的正弦值．
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2024-04-13更新
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1297次组卷
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6卷引用：湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性考试数学试题
名校
4 . 如图，四棱锥
中，四边形为直角梯形，
，
，点
为
中点，
.
平面；
(2)已知点
为线段的中点，求直线与平面
所成角的正弦值.
中，四边形为直角梯形，，，点为中点，.
平面；(2)已知点
为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
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2024-04-13更新
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544次组卷
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2卷引用：湖南省娄底市2024届高考仿真模拟考试一模数学试题
名校
解题方法
5 . 如图，在四棱锥
中，四边形是矩形，
是正三角形，且平面
平面，
，为棱
的中点，四棱锥的体积为
.为棱
的中点，求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点，使得平面
与平面
所成夹角的余弦值为
？若存在，求出线段
的长度；若不存在，请说明理由.
中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.
为棱的中点，求证：平面；(2)在棱
上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.
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2024-04-13更新
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2347次组卷
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4卷引用：湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期数学月考试卷(八)
湖南省长沙市雅礼中学2024届高三下学期数学月考试卷(八)（已下线）数学（新高考卷02，新题型结构）四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题（已下线）【一题多解】存在与否 向量探索
名校
6 . 如图，在三棱柱中，侧面
为正方形，
，
，为
的中点．
平面
；
(2)若
，求二面角
的余弦值．
中，侧面为正方形，，，为的中点．
平面；(2)若
，求二面角的余弦值．
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2024-04-08更新
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1590次组卷
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4卷引用：湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷
湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期4月素质质量检测数学试卷北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷（已下线）6.3 空间中的平行关系与垂直关系（高考真题素材之十年高考）四川成都实验外国语学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
7 . 如图，是半球
的直径，
，
是底面半圆弧
上的两个三等分点，是半球面上一点，且
.
的面积；
(2)证明：
平面
；
(3)若点在底面圆内的射影恰在
上，求直线
与平面
所成角的正弦值.
是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.
的面积；(2)证明：
平面；(3)若点
在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.
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2024-04-07更新
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612次组卷
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2卷引用：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题
名校
解题方法
8 . 如图，
平面，
，
，
，则（ ）
平面，，，，则（ ）
A． |
B． 平面 |
C．二面角 的余弦值为 |
D．直线 与平面 所成角的正弦值为 |
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2024-04-07更新
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281次组卷
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11卷引用：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题
湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024届高三下学期4月月考数学试题湖北省九师联盟2021-2022学年高三上学期8月开学考数学试题（已下线）第九章 立体几何专练10—二面角小题2-2022届高三数学一轮复习福建省宁化第一中学2021-2022学年高二上学期第一次阶段考试数学试题湖北省襄阳市枣阳一中2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题辽宁省朝阳市凌源市实验中学2021-2022学年高三上学期11月月考数学试题河北省唐山市玉田县2022届高三上学期8月开学考试数学试题吉林省白城市洮南市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题安徽省滁州市定远县民族中学2023届高三下学期第一次模拟数学试题4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系(第1课时) 同步练习-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册江苏省连云港市锦屏高级中学2023-204学年高二下学期3月阶段练习数学试题
名校
解题方法
9 . 已知四棱柱
如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面
内的投影为点
，且
．
平面
；
(2)已知点在线段
上（不含端点位置），且平面
与平面的夹角的余弦值为
，求
的值．
如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
平面；(2)已知点
在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
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2024-04-05更新
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3883次组卷
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7卷引用：湖北省华中师范大学第一附属中学、湖南省湖南师范大学附属中学等三校2024届高三下学期4月模拟考试（二模）数学试卷
名校
10 . 如图，在正方体中，
分别为
的中点，点在
的延长线上，且
.
平面
.
(2)求平面与平面
的夹角余弦值.
中，分别为的中点，点在的延长线上，且.
平面.(2)求平面
与平面的夹角余弦值.
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2024-04-02更新
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421次组卷
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6卷引用：湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题湖南省衡阳市衡阳县第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题吉林省部分名校（抚松县第一中学等）2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷（已下线）模块一 专题6 《空间向量应用》(苏教版)江苏省连云港市七校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（已下线）江苏省连云港市七校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题变式题16-19
