1 . 如图，在三棱锥中，底面.点D，E，N分别为棱的中点，M是线段的中点，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.

2 . 如图，在多面体中，已知，．

（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

3 . 如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，.

（1）若为中点.求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.

4 . 如图，已知圆台的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为，，为母线，平面平面为的中点，为上的任意一点.

（1）证明：；
（2）当点为线段的中点时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

5 . 如图在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，平面平面，、分别为、的中点，．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．

6 . 如图，三棱锥中，，，是等边三角形，E为三等分点（靠近C点）．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当时，求与平面所成线面角的正弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，，， ，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

8 . 在如图所示的几何体中，均为等边三角形，且平面平面，平面平面．

（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．

9 . 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=1，M，N分别为A₁C₁，AB₁的中点．

（1）求证：MN//平面B₁BCC₁；
（2）若P是B₁B的中点，AP⊥MN，求二面角A₁-PN-M的余弦值．

10 . 如图，在直三棱柱中，点、分别为和的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，，求二面角的余弦值.