1 . 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

2 . 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，，，且，，面，，N为中点.

（1）若是中点，求证：面；
（2）求二面角的正弦值.

3 . 三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，AA₁⊥平面ABC，AA₁＝AB，N，M分别是A₁B₁，A₁C₁的中点，则AM与BN所成角的余弦值为（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

5 . 如图所示，直角梯形中，，垂直，，四边形为矩形，，平面平面.

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.

6 . 如图，四棱柱的底面为菱形，底面，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的正弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点．

   

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．