1 . 已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的取值范围．

2 . 已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．　
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点．
（1）试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
（2）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．

3 . 已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为.
（ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
（ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.

4 . 已知椭圆C：过点，左右焦点为，且椭圆C关于直线对称的图形过坐标原点．

(1)求椭圆C方程；
(2)圆D：与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F₁R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F₁R的斜率大于1，求的取值范围.

5 . 已知左、右焦点分别为的椭圆过点，且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．
(I)求椭圆C的离心率和标准方程．
(II)圆与椭圆C交于A,B两点，R为线段AB上任一点，直线交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆的直径，且直线的斜率大于1，求的取值范围．

6 . 已知椭圆的左右焦点分别为，短轴两个端点为，且四边形是边长为2的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，求的最大值与最小值；
（3）设是椭圆外的动点，满足，点是线段与该椭圆的交点，点在线段上，并且满足，，求点的轨迹方程．

7 . 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，且直线：被椭圆截得的弦长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若直线与圆：相切：
（i）求圆的标准方程；
（ii）若直线过定点，与椭圆交于不同的两点、，与圆交于不同的两点、，求的取值范围．

8 . 已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当时，求面积的最大值；
（Ⅲ）若直线的斜率为2，求证：的外接圆恒过一个异于点的定点.

9 . 已知椭圆：经过点，离心率为，点为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于不同于点的两个点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)若，求证：为定值.

10 . 已知椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，点在直线上，且，求证：为定值；
（3）设点在椭圆上运动，，且点到直线的距离为常数，求动点的轨迹方程．