1 . 已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，直线，分别与圆相交于异于点的，两点.
（i）求证：；
（ii）求的面积的取值范围.

2 . 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线(不过原点)与椭圆交于两点､，为线段的中点.
（i）证明：直线与的斜率乘积为定值；
（ii）求面积的最大值及此时的斜率.

3 . 已知椭圆：的右焦点为，离心率为，过原点的直线（不与坐标轴重合）与交于两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作轴于点，连接，并延长交椭圆于，证明以线段为直径的圆经过点.

4 . 已知椭圆的离心率为，且上顶点到直线距离为3.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过点且与椭圆相交于两点，不经过点.证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.

5 . 已知椭圆经过点，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于A，B.
（i）证明直线AB过定点；
（ii）求点P到直线AB距离的最大值.

6 . 如图所示，已知椭圆的离心率为，一条准线为直线

（1）求椭圆的标准方程；
（2）A为椭圆的左顶点，P为平面内一点（不在坐标轴上），过点P作不过原点的直线l交椭圆于C，D两点（均不与点A重合），直线AC，AD与直线OP分别交于E，F两点，若，证明：点P在一条确定的直线上运动.

7 . 如图，椭圆：的左、右顶点分别为，离心率，长轴与短轴的长度之和为10.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）在椭圆上任取点（与两点不重合），直线交轴于点，直线交轴于点，证明：为定值.

8 . 已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.
①证明：为定值；
②设是直线上的动点，直线、分别另交椭圆于、两点，求的最小值.

9 . 已知椭圆过点，是椭圆上的任意一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，是椭圆的左右顶点，设是椭圆上异于，的任意一点，轴，为垂足，延长到点使得，连接并延长交直线：于点，点为的中点，判定直线与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.

10 . 已知直线l：x=my+1过椭圆C：b²x²+a²y²=a²b²(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A､B两点，点A､B在直线G：x=a²上的射影依次为点D､E.
（1）若，其中O为原点，A₂为右顶点，e为离心率，求椭圆C的方程；
（2）连接AF，BD，试探索当m变化时，直线AE，BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由.