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1 . 根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距
，地震局以
的中点为原点O，直线l为x轴，
为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线
的右支上，且
，则P到公路l的距离为（ ）
，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（ ） A． | B． | C． | D． |
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2 . 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明，经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数
的点的轨迹叫做圆锥曲线；当
时，轨迹为椭圆：当
时，轨迹为抛物线；当
时，轨迹为双曲线.现有方程
表示的曲线是双曲线，则
的取值范围为（ ）
的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆：当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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3 . 公元前
年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：
的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：
（
，
）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为
为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（ ）
年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：（，）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（ ）A． | B． |
C． | D． |
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4 . 陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线
的右支与y轴及直线
围成的曲边四边形
绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为
，下底座外直径为
，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
(1)求杯身最细之处的周长（杯的厚度忽略不计）：
(2)求此双曲线C的离心率与渐近线方程.
的右支与y轴及直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， (1)求杯身最细之处的周长（杯的厚度忽略不计）：
(2)求此双曲线C的离心率与渐近线方程.
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5 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：
，
是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点
，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分
.若双曲线
的方程为
，则下列结论正确的是（ ）
，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A．射线 所在直线的斜率为 ，则 |
B．当 时， |
C．当过点 时，光线由到再到 所经过的路程为13 |
D．若点 坐标为 ，直线 与相切，则 |
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2023-06-22更新
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1447次组卷
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8卷引用：广东省茂名市第一中学2023届高三三模数学试题
广东省茂名市第一中学2023届高三三模数学试题（已下线）第13讲 第三章 圆锥曲线的方程 章节验收测评卷（综合卷）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）河南省郑州市第四高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（已下线）重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题（六大题型）-2河南省南阳市2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）专题07 双曲线的压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第06讲 双曲线及其性质（练习）（已下线）专题11 平面解析几何-2
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6 . 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且
，视
所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________ ．
，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为
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2023-06-09更新
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656次组卷
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3卷引用：上海市格致中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
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7 . 双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为
分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点
和点
反射后（
在同一直线上），满足
.
(1)当
时，求双曲线的标准方程；
(2)过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于
两点，点
是线段
的中点，试探究
是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足. (1)当
时，求双曲线的标准方程；(2)过
且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
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8 . 中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.
(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为
，纸片圆的边界方程为
.若点
位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求
面积的最小值.
(1)证明：点Q的轨迹是双曲线；
(2)设定点A坐标为
，纸片圆的边界方程为.若点位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求面积的最小值.
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9 . 与三角形的一条边以及另外两条边的延长线都相切的圆被称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心被称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心，如图1所示，已知，是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，是
的一个旁心，如图2所示，直线
与
轴交于点，则
（ ）
，是双曲线的左右焦点，是双曲线右支上一点，是的一个旁心，如图2所示，直线与轴交于点，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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10 . 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为
，用一个平面
去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角
的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为
，比如，当
时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为
，高为
的圆锥
中，、
是底面圆
上互相垂直的直径，
是母线
上一点，
，平面
截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）
，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为，高为的圆锥中，、是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-05-06更新
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1075次组卷
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5卷引用：贵州省贵阳市2023届高三适应性考试（二）数学（理）试题
