双曲线练习题及答案-2023年高中数学专题练习-组卷网

多选题 | 适中(0.65) |

解题方法

1 . 公元前

年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．利用“黄金分割比”研究双曲线，可得满足：

的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线E：

（

，

）的一个顶点为A，与A不在y轴同侧的焦点为F，E的一个虚轴端点为

为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，M为PQ中点．设双曲线E的离心率为e，则下列说法中，正确的有（）

A．	B．
C．	D．

2023-08-22更新 | 348次组卷 | 4卷引用：模块四专题8 高考新题型（复杂情景题专训）拔高能力练（人教A）

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22-23高二上·浙江温州·期中

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

根据双曲线过的点求标准方程已知方程求双曲线的渐近线求双曲线的离心率或离心率的取值范围

名校

解题方法

直接法解决离心率问题

2 . 陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线

的右支与y轴及直线

围成的曲边四边形

绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为

，下底座外直径为

，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，

(1)求杯身最细之处的周长（杯的厚度忽略不计）：
(2)求此双曲线C的离心率与渐近线方程.

2023-08-06更新 | 267次组卷 | 3卷引用：第十一章数学建模综合测试B（提升卷）（高三一轮）

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22-23高二下·广东广州·期末

多选题 | 较难(0.4) |

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）利用定义解决双曲线中焦点三角形问题根据双曲线的渐近线求标准方程求双曲线的离心率或离心率的取值范围

解题方法

待定系数法求双曲线方程 “在”与“过”，求曲线y=f(x)的切线方程

3 . 费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知

、

分别是以

为渐近线且过点

的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点

处的切线l交x轴于点Q，则（）

A．双曲线C的离心率为	B．双曲线C的方程为
C．过点作，垂足为K，则	D．点Q的坐标为

2023-07-08更新 | 744次组卷 | 4卷引用：第十章导数与数学文化微点3 导数与数学文化（三）

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22-23高二下·湖南衡阳·期末

填空题-单空题 | 较易(0.85) |

求双曲线的离心率或离心率的取值范围

名校

解题方法

直接法解决离心率问题

4 . 古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线

的左、右焦点分别为

，

，双曲线C上关于原点对称的两点

，

满足

，若

，则双曲线

的离心率______.

2023-07-02更新 | 853次组卷 | 11卷引用：第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质(1)

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2023·广东茂名·三模

多选题 | 适中(0.65) |

利用定义解决双曲线中焦点三角形问题已知方程求双曲线的渐近线双曲线与反光镜的设计问题平面解析几何

名校

5 . 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：

，

是双曲线的左､右焦点，从

发出的光线

射在双曲线右支上一点

，经点

反射后，反射光线的反向延长线过

；当

异于双曲线顶点时，双曲线在点

处的切线平分

.若双曲线

的方程为

，则下列结论正确的是（）

A．射线

所在直线的斜率为

，则

B．当

时，

C．当

过点

时，光线由

到

再到

所经过的路程为13

D．若点

坐标为

，直线

与

相切，则

2023-06-22更新 | 1447次组卷 | 8卷引用：重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题（六大题型）-2

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22-23高二下·上海黄浦·期中

填空题-单空题 | 适中(0.65) |

根据双曲线过的点求标准方程

名校

解题方法

待定系数法求双曲线方程

6 . 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且

，视

所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为_________．

2023-06-09更新 | 656次组卷 | 3卷引用：第三章圆锥曲线的方程讲核心03

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2023·安徽亳州·模拟预测

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

利用双曲线定义求方程双曲线中的定值问题

名校

解题方法

定值问题

7 . 双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点

发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点

.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为

分别为其左、右焦点，若从右焦点

发出的光线经双曲线上的点

和点

反射后（

在同一直线上），满足

.

(1)当

时，求双曲线的标准方程；
(2)过

且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于

两点，点

是线段

的中点，试探究

是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.

2023-06-02更新 | 473次组卷 | 4卷引用：模块三专题11 双曲线 B能力卷

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2023·广东深圳·二模

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

由导数求函数的最值（不含参）利用双曲线定义求方程求双曲线中的最值问题

解题方法

面积问题

8 . 中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.