1 . 已知椭圆 的离心率为，点为椭圆的右顶点，点为椭圆的上顶点，点为椭圆的左焦点，且的面积是.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为与不重合)，则直线与轴交于点，求面积的取值范围.

2 . 已知椭圆 的左、右顶点分别为以线段为斜边的等腰直角三角形与椭圆的一个交点为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点 是直线上的任意一点，直线与椭圆交于两点.证明：直线恒过一定点，且直线平分线段(为坐标原点).

3 . 已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，离心率，点E在椭圆C上，的面积的最大值为．
(1)求C的方程；
(2)设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：为定值．

4 . 在圆上任取一点P，过点P作y轴的垂线，垂足为D，点Q满足．当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与y轴正半轴交点为A，不过点A的直线l与曲线C交于M，N两点，若，试探究直线l是否过定点．若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．

5 . 已知椭圆，四点，，，中恰有三点在C上.
(1)求C的方程；
(2)若圆的切线l与C交于点A，B，证明为定值，并求出定值.

6 . 已知椭圆过点，且焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线（不经过点交椭圆于点，，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.

7 . 已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．
(1)求的标准方程；
(2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．

8 . 已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，且过点．
(1)求椭圆的方程．
(2)若点，点为椭圆上的任意一点，求的最大值与最小值．
(3)设椭圆的下顶点为点，若不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于，两点，直线，分别与轴交于，两点．若，的横坐标之积是2，证明：直线过定点．

9 . 已知椭圆 的离心率为，其左、右焦点分别为，上顶点为，且的面积为.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆交于两点，为坐标原点.试求当为何值时，使得恒为定值，并求出该定值.

10 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为．
(1)求C的方程；
(2)与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
(3)P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围．