1 . 已知椭圆的离心率为，上下顶点分别为，且.过点的直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

2 . 已知椭圆的右顶点为，离心率为．过点与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点B，C，直线，分别交直线于点M，N．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为原点．求证：．

3 . 已知椭圆的一个顶点坐标为，椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程和椭圆的短轴长；
(2)若过点的两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，（，与不重合），试判断直线是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)作于点，则存在定点，使得为定值，请写出这个定值（只要求写出结果）.

4 . 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设点D为线段AB上的动点，过D作线段AB的垂线交椭圆C于不同的两点E和F，N为线段AE上一点，．是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，，离心率为，P为椭圆C上一点，且△面积的最大值为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线和，A，B，D，E都在椭圆C上，求的取值范围.

6 . 已知椭圆：的一个焦点为，且过点.
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)过点且与轴不重合的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.

7 . 已知椭圆（）的左、右顶点分别为，，且，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于，的一点，直线，与直线分别交于点．若，求点横坐标的取值范围．

8 . 已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于，求的取值范围.

9 . 已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于、两点，过、作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点，为椭圆的左焦点．求证：四边形为梯形．

10 . 已知椭圆C：的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于点A，B，且，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，求直线OP的斜率与直线OQ的斜率的乘积．