1 . 如图，椭圆离心率为，椭圆的左右顶点分别为、，上顶点为. 点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上有一动点，连接和分别交轴于和，请问是否存在实数，使得.若存在，求出值，若不存在，说明理由.

2 . 已知椭圆的方程为（），离心率为，点在椭圆上.其左右顶点分别为、，左右焦点分别为、.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过轴上的定点（点不与、重合），且交椭圆于、两点（，），当满足时，求点的坐标.

3 . 已知椭圆的上顶点为，左､右焦点分别为，，离心率的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于点，则直线的斜率分别为，，且，则直线是否经过某个定点？若是，请求出的坐标.

4 . 已知椭圆方程为（），离心率为且过点.
(1)求椭圆方程；
(2)动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；
(3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，是椭圆上的两个不同点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的斜率之积为，点满足（为坐标原点），直线与椭圆的另一个交点为（与不重合），若，求的值.

6 . 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点(点在第一象限)，过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

7 . 已知椭圆C：的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，求椭圆C的方程.

8 . 已知椭圆：，离心率为，两焦点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点，的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率为，求的面积.

9 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点与上顶点分别为、，椭圆的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图，若直线与该椭圆交于、两点，直线、的斜率互为相反数.
①求证：直线的斜率为定值；
②若点在第一象限，设与的面积分别为、，求的最大值.

10 . 已知椭圆C：（）上一点到它的左右焦点，的距离的和是6．
（1）求椭圆C的离心率的值；
（2）若轴，且在轴上的射影为点，求点的坐标．