1 . 如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.

(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.

2 . 已知圆的方程,,，抛物线过两点，且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；
(2)已知， 设x轴上一定点， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线与轴不重合），求证：为定值.

3 . 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．
(i) 设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；
(ii) 若，当最大时，求四边形的面积．

4 . 如图，平面平面，菱形平面，，为平面内一动点.

(1)若平面，间的距离为，设直线，与平面所成的角分别为，，，求动点在平面内的射影的一个轨迹方程；
(2)若点在平面内的射影为，证明：直线与平面所成的角与的大小无关.

5 . 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
   
(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率为，证明：为定值；
(3)过点作直线垂直于直线，在上任取一点，对于（2）中的两点，试证明：直线的斜率成等差数列.

6 . 在中，已知，记且对，均有，其中且.
(1)求点A_n的轨迹方程；
(2)求数列的通项公式；
(3)记的面积为，判断的单调性并给出证明.

7 . 已知，动点满足：且三点共面.线段的垂直平分线为，点在上且，为线段延长线上的点，且，记的轨迹为曲线.
(1)求证，并建立适当的坐标系，求的方程；
(2)判断直线与公共点的个数，并说明理由.

8 . 在平面直角坐标系中， 设点， 点与两点的距离之和为为一动点， 点满足向量关系式：．
(1)求点的轨迹方程；
(2)设与轴交于点(在的左侧)， 点为上一动点 (且不与重合)． 设直线轴与直线分别交于点，取，连接，证明：为的角平分线．

9 . 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.

10 . 曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，C上的点M(不在x轴上)满足，且直线的斜率之积等于．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线l交C于A，B两点，若，其中，证明：．