1 . 设圆
的圆心为
，过点
且与
轴不重合的直线交圆于
、
两点，过
作
的平行线交
于点
．
(1)证明
为定值，并写出点的轨迹
的方程；
(2)已知点
，
，过点的直线l与曲线交于
、
两点，直线
，
交于点
，求证：点在直线
上．
的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，过作的平行线交于点．(1)证明
为定值，并写出点的轨迹的方程；(2)已知点
，，过点的直线l与曲线交于、两点，直线，交于点，求证：点在直线上．
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2022-02-15更新
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307次组卷
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2卷引用：福建省南平市2021-2022学年高二上学期期末质量检测数学试题
2 . 设圆的圆心为A，直线
过点B（1,0）且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（Ⅰ）证明：
为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点， 求证：
是定值，并求出该定值.
的圆心为A，直线过点B（1,0）且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（Ⅰ）证明：
为定值，并写出点E的轨迹方程； （Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线
交C1于M,N两点，过B且与垂直的直线与C1交于P,Q两点， 求证：是定值，并求出该定值.
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2019-07-05更新
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1022次组卷
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3卷引用：湖北省荆门市2018-2019学年高二下学期期末质量监测数学文试题
解题方法
3 . 如图，P是直线上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l是圆Γ在点B处的切线，过
作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．
(1) 求证：
为定值
(2)设直线l交直线于点Q，证明：
上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l是圆Γ在点B处的切线，过作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点． (1) 求证：
为定值(2)设直线l交直线
于点Q，证明：
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2017-08-08更新
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1160次组卷
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2卷引用：浙江省杭州市2016-2017学年高二下学期期末教学质量检测数学试题
13-14高三上·江苏扬州·阶段练习
解题方法
4 . 如图所示，已知圆
为圆上一动点，点是线段
的垂直平分线与直线
的交点．
（1）求点的轨迹曲线
的方程；
（2）设点
是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线
的方程；（不要求证明）
（3）直线
过切点与直线垂直，点
关于直线的对称点为
，证明：直线
恒过一定点，并求定点的坐标．
为圆上一动点，点是线段的垂直平分线与直线的交点．（1）求点
的轨迹曲线的方程；（2）设点
是曲线上任意一点，写出曲线在点处的切线的方程；（不要求证明）（3）直线
过切点与直线垂直，点关于直线的对称点为，证明：直线恒过一定点，并求定点的坐标．
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5 . 在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为
和
，
的周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为
，
．
（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数
，使得当
时，
；
（ⅱ）若
，当
最大时，求四边形EPFQ的面积．
和，的周长为6，记顶点M的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；
(2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为
，．（ⅰ）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数
，使得当时，；（ⅱ）若
，当最大时，求四边形EPFQ的面积．
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解题方法
6 . 如图，已知
是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，
是以的焦点
为顶点的等轴双曲线，点
是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.与的方程；
(2)若直线
的倾斜角是直线
的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线
的斜率分别为
，直线与相交于点
，直线与相交于点
，
，
，求证：
且存在常数
使得
.
是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
与的方程；(2)若直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；(3)设直线
的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
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2024·全国·模拟预测
7 . 已知抛物线
的焦点
是椭圆
的右焦点，抛物线与椭圆在第一象限的公共点的横坐标为
．
(1)求抛物线与椭圆的标准方程；
(2)若
分别是椭圆的左、右顶点，
是椭圆上不同于的两点，直线
的斜率是直线
的斜率的3倍，证明：直线
过定点，并求出定点的坐标．
的焦点是椭圆的右焦点，抛物线与椭圆在第一象限的公共点的横坐标为．(1)求抛物线
与椭圆的标准方程；(2)若
分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于的两点，直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．
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8 . 在平面直角坐标系
中，已知圆E：
和定点
，P为圆E上的动点，线段
的垂直平分线与直线
交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若为曲线上两点，点
在直线
上，试在①直线
过点
；②
；③直线
过点
三者中选择其中两者作为条件，剩下的一个作为结论，并证明其成立.
中，已知圆E：和定点，P为圆E上的动点，线段的垂直平分线与直线交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；
(2)若
为曲线上两点，点在直线上，试在①直线过点；②；③直线过点三者中选择其中两者作为条件，剩下的一个作为结论，并证明其成立.
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解题方法
9 . 已知椭圆C：
的焦距为2，
，
分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，
的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知结论：若点
为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为
．点T为直线
上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点．
的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．(1)求椭圆C的方程；
(2)已知结论：若点
为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点．
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10 . 设点为圆
的圆心，点
是圆上的动点，线段
的垂直平分线与
相交于点．
(1)求证：动点的轨迹是椭圆，并求出该椭圆的标准方程；
(2)设（1）中椭圆的上顶点为，经过点
的直线与该椭圆交于两点（异于点），记直线
的斜率为，直线
的斜率为，求
的值．
为圆的圆心，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点．(1)求证：动点
的轨迹是椭圆，并求出该椭圆的标准方程；(2)设（1）中椭圆的上顶点为
，经过点的直线与该椭圆交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
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