解题方法
1 . 如图,已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆,是以的焦点为顶点的等轴双曲线,点是与的一个交点,动点在的右支上且异于顶点.(1)求与的方程;
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
(3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍,求点的坐标;
(3)设直线的斜率分别为,直线与相交于点,直线与相交于点,,,求证:且存在常数使得.
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2 . 设点为圆的圆心,点是圆上的动点,线段的垂直平分线与相交于点.
(1)求证:动点的轨迹是椭圆,并求出该椭圆的标准方程;
(2)设(1)中椭圆的上顶点为,经过点的直线与该椭圆交于两点(异于点),记直线的斜率为,直线的斜率为,求的值.
(1)求证:动点的轨迹是椭圆,并求出该椭圆的标准方程;
(2)设(1)中椭圆的上顶点为,经过点的直线与该椭圆交于两点(异于点),记直线的斜率为,直线的斜率为,求的值.
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解题方法
3 . 在直角坐标系中,椭圆的左,右焦点分别为.也是抛物线的焦点,点为与在第一象限的交点,且.
(1)求的方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点,为线段的中点,为坐标原点,射线与椭圆交于点,点为直线上一动点,且,求证:点在定直线上.
(1)求的方程;
(2)已知过点的直线与椭圆交于两点,为线段的中点,为坐标原点,射线与椭圆交于点,点为直线上一动点,且,求证:点在定直线上.
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2024·全国·模拟预测
4 . 已知抛物线的焦点是椭圆的右焦点,抛物线与椭圆在第一象限的公共点的横坐标为.
(1)求抛物线与椭圆的标准方程;
(2)若分别是椭圆的左、右顶点,是椭圆上不同于的两点,直线的斜率是直线的斜率的3倍,证明:直线过定点,并求出定点的坐标.
(1)求抛物线与椭圆的标准方程;
(2)若分别是椭圆的左、右顶点,是椭圆上不同于的两点,直线的斜率是直线的斜率的3倍,证明:直线过定点,并求出定点的坐标.
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解题方法
5 . 已知圆,为圆内一个定点,是圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点,当点在圆上运动时.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)已知圆:在的内部,是上不同的两点,且直线与圆相切.求证:以为直径的圆过定点.
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2023-11-13更新
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964次组卷
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4卷引用:福建省福州市八县(市)协作校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A,B两点(其中点A在x轴上方),且的周长为8.将平面沿x轴向上折叠,使二面角为直二面角,如图所示,折叠后A,B在新图形中对应点记为,.
①求证:;
②求平面和平面所成角的余弦值;
(2)是否存在,使得折叠后的周长为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
(1)当时,
①求证:;
②求平面和平面所成角的余弦值;
(2)是否存在,使得折叠后的周长为?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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2023·全国·模拟预测
7 . 设动点P到点和点的距离分别为和,,且.设动点P的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)过点F且与x轴不重合的直线l交C于A,B两点,证明:在x轴上存在异于点F的定点Q,使得为定值,其中,分别为直线QA,QB的斜率.
(1)求C的方程;
(2)过点F且与x轴不重合的直线l交C于A,B两点,证明:在x轴上存在异于点F的定点Q,使得为定值,其中,分别为直线QA,QB的斜率.
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8 . 设、分别是椭圆的左、右焦点,若_____,
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答.
①四点、、、中,恰有三点在椭圆上;
②椭圆经过点,与轴垂直,且.
(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设是椭圆的上顶点,过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点,过点作线段的垂线,垂足为,判断在轴上是否存在定点,使得的长度为定值?并证明你的结论.
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答.
①四点、、、中,恰有三点在椭圆上;
②椭圆经过点,与轴垂直,且.
(注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设是椭圆的上顶点,过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点,过点作线段的垂线,垂足为,判断在轴上是否存在定点,使得的长度为定值?并证明你的结论.
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2024高三·全国·专题练习
9 . 如图,已知的直角边,点是从左到右的四等分点(非中点).已知椭圆所在的平面⊥平面,且其左右顶点为,左右焦点为,点在上.
(1)求三棱锥体积的最大值;
(2)证明:二面角不大于60°.
(1)求三棱锥体积的最大值;
(2)证明:二面角不大于60°.
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10 . 已知点是圆上一动点,点,线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似,且焦点在同一条直线上,曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线,切点分别为,这两条切线分别与曲线交于点(异于点),证明:.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)定义:两个离心率相等的圆锥曲线为“相似”曲线.若关于坐标轴对称的曲线与曲线相似,且焦点在同一条直线上,曲线经过点.过曲线上任一点作曲线的切线,切点分别为,这两条切线分别与曲线交于点(异于点),证明:.
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