1 . 已知椭圆：的离心率为，的左右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，满足.抛物线：的焦点与椭圆的右焦点重合，点是抛物线的准线上任意一点，直线，分别与抛物线相切于点.
(1)若直线与椭圆相交于，两点，且的中点为，求直线的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

2 . 已知椭圆：，分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点，，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的右顶点，直线是与椭圆交于两点的任意一条直线，若，证明直线过定点.

3 . 在平面直角坐标系中，，，，，点P是平面内的动点.若以为直径的圆O与以为直径的圆T内切.
(1)证明：为定值，并求点P的轨迹E的方程；
(2)设斜率为的直线l与曲线E相交于C、D两点，问在E上是否存在一点Q，使直线、与y轴所围成的三角形是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知两动圆：和：，把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，取曲线上的相异两点、满足：且点与点均不重合.
(1)求曲线的方程；
(2)证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；

5 . 如图，已知点，，以线段为直径的圆内切于圆．

(1)证明为定值，并写出点的轨迹的方程；
(2)设点是曲线上的不同三点，且，求的面积．

6 . 已知平面内的定点，为坐标原点，为平面内的动点，满足线段的中点在圆上，点在线段上且，当运动时，点形成的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若曲线与轴的左、右两个交点分别为，过定点的直线与曲线交于两点，设直线与相交于点，证明：点在定直线上.

7 . 如图，已知点，，以线段为直径的圆内切于圆，点G的轨迹为F．

(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)若轨迹E与x轴的左、右两个交点分别为M，N，过定点的直线与轨迹E交于R，S两点，设直线MR与NS交于点，证明：点在定直线上．

9 . 已知点，为椭圆的左、右焦点，，都在圆上，椭圆和圆在第一象限相交于点，且线段为圆的直径.

（1）求椭圆的方程；
（2）椭圆的左、右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆分别交于点，，且点，位于第一象限，点在线段上，直线与交于点.记直线，的斜率分别为，.求证：为定值.

10 . 如图，在平面直角坐标系中，为半圆的直径，为圆心，且，，为线段的中点；曲线过点，动点在曲线上运动且保持的值不变.

（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于､两点，与所在直线交于点，，，求证：为定值.