1 . 已知圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2），是曲线上的两个动点，且，记中点为，，证明：为定值.

2 . 已知点，是圆上的一个动点，为圆心，线段的垂直平分线与直线的交点为．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设与轴的正半轴交于点，直线与交于两点（不经过点），且,证明：直线经过定点，并写出该定点的坐标．

3 . 如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.
（l）求椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线．

4 . 在平面直角坐标系中，点，圆，点是圆上一动点，线段的中垂线与线段交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若直线（斜率存在）与曲线相交于两点，且存在点（其中不共线），使得被轴平分，证明：直线过定点.

5 . 已知圆的公共点的轨迹为曲线,且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点、满足直线,的斜率之积为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；
（Ⅲ）求的面积的最大值．

6 . 在平面直角坐标系中，N为圆C：上的一动点，点D（1,0），点M是DN的中点，点P在线段CN上，且.
（Ⅰ）求动点P表示的曲线E的方程；
（Ⅱ）若曲线E与x轴的交点为，当动点P与A，B不重合时，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；