1 . 设圆的圆心为，过点且与轴不重合的直线交圆于、两点，过作的平行线交于点．
(1)证明为定值，并写出点的轨迹的方程；
(2)已知点，，过点的直线l与曲线交于、两点，直线，交于点，求证：点在直线上．

2 . 设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（Ⅰ）证明：为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C₁，直线交C₁于M,N两点，过B且与垂直的直线与C₁交于P,Q两点， 求证：是定值，并求出该定值.

3 . 设点为圆的圆心，点是圆上的动点，线段的垂直平分线与相交于点．
(1)求证：动点的轨迹是椭圆，并求出该椭圆的标准方程；
(2)设（1）中椭圆的上顶点为，经过点的直线与该椭圆交于两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．

4 . 已知椭圆C：的焦距为2，，分别为其左，右焦点，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，的周长为8．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知结论：若点为椭圆C上一点，则椭圆C在该点的切线方程为．点T为直线上的动点，过点T作椭圆C的两条不同切线，切点分别为A，B，直线AB交x轴于点Q．证明：Q为定点．

5 . 已知圆，为圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时.

(1)求点的轨迹的方程；
(2)已知圆：在的内部，是上不同的两点，且直线与圆相切.求证：以为直径的圆过定点.

6 . 已知圆和定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)直线与曲线交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点.求证：.

7 . 已知点是圆：上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设，，过点的直线与轨迹交于，两点（不与轴重合），直线与直线交于点.求证：.

8 . 已知点在圆上，，的坐标分别为，，线段的垂直平分线交线段于点.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)为曲线上不同于的两点，直线分别经过点，求证：直线与直线的斜率之积为定值.

9 . 已知曲线上的任意一点到两定点的距离之和为.直线交曲线于两点，为坐标原点..
(1)求曲线的方程；
(2)若不过点且不平行于坐标轴，记线段的中点为.求证:直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)若以线段为直径的圆过点，求面积的取值范围.

10 . 已知椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与交于两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．