名校
解题方法
1 . 已知椭圆
：
（
）的离心率为
，
是椭圆的左，右焦点，点
是椭圆上任意一点且满足
.
(1)求椭圆方程；
(2)设
为椭圆右顶点，过点
的直线
与椭圆交于
，
两点（异于），直线
，
分别交直线
于
，
两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.
：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.(1)求椭圆方程；
(2)设
为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.
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2022-11-10更新
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548次组卷
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3卷引用：湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高二上学期期中测试数学试卷
2 . 如图，已知圆：
和点
，
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线和
相交于点，记点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)设点是曲线与
轴正半轴的交点，过点
的直线交曲线于、两点，直线
，
的斜率分别是
，
，证明：
为定值.
：和点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和相交于点，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)设点
是曲线与轴正半轴的交点，过点的直线交曲线于、两点，直线，的斜率分别是，，证明：为定值.
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名校
解题方法
3 . 已知椭圆
的左、右两个焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明
为定值，并求出该定值.
的左、右两个焦点分别是F1，F2，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF2⊥F1F2，|MF1|＝3|MF2|.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明
为定值，并求出该定值.
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2022-12-09更新
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590次组卷
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6卷引用：河南省平顶山市2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题
河南省平顶山市2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题河南省平顶山市2020-2021学年高二上学期期末数学（文）试题河南省安阳市第一中学2020-2021学年高二上学期期末测试文科数学试题河南省信阳市商城县观庙高级中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学（理）试题（已下线）第42讲 解析几何中的长度之和差积商平方问题-2022年新高考数学二轮专题突破精练山东省菏泽市2022-2023学年高二上学期期末数学试题
4 . 已知圆
的圆心为A，点
是圆A内一个定点，点C是圆A上任意一点，线段
的垂直平分线与半径相交于点D.
(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)给定点
，设直线l不经过点P且与轨迹E相交于M，N两点，以线段
为直径的圆过点P.证明：直线l过定点
的圆心为A，点是圆A内一个定点，点C是圆A上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点D.(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)给定点
，设直线l不经过点P且与轨迹E相交于M，N两点，以线段为直径的圆过点P.证明：直线l过定点
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5 . 如图，已知点
，
，以线段
为直径的圆内切于圆
，点G的轨迹为F．
(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)若轨迹E与x轴的左、右两个交点分别为M，N，过定点
的直线与轨迹E交于R，S两点，设直线MR与NS交于点，证明：点在定直线上．
，，以线段为直径的圆内切于圆，点G的轨迹为F．(1)求点G的轨迹E的方程；
(2)若轨迹E与x轴的左、右两个交点分别为M，N，过定点
的直线与轨迹E交于R，S两点，设直线MR与NS交于点，证明：点在定直线上．
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2021高三·全国·专题练习
6 . 已知①如图，长为
，宽为的矩形
，以､为焦点的椭圆
恰好过
两点
②设圆
的圆心为
，直线过点
，且与
轴不重合，直线交圆于两点，过点作
的平行线交
于，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求点的轨迹方程；
（2）根据（1）所得点的轨迹方程，直线
与点M轨迹交于､两点，且
.求证：
的面积为定值.
，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点②设圆
的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，（1）在①②两个条件中任选一个条件，求点
的轨迹方程；（2）根据（1）所得点
的轨迹方程，直线与点M轨迹交于､两点，且.求证：的面积为定值.
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解题方法
7 . 平面内两个动圆的圆心分别为
，半径分别为
，其中满足
，且
．
(1)求证：圆
与圆
相交，并求两圆的交点的轨迹E的方程；
(2)过点
的动直线l与曲线E相交于C，D两点．在平面直角坐标系
中，是否存在与点P不同的定点M，使得
恒成立？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
，半径分别为，其中满足，且．(1)求证：圆
与圆相交，并求两圆的交点的轨迹E的方程；(2)过点
的动直线l与曲线E相交于C，D两点．在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点M，使得恒成立？若存在，求出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
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解题方法
8 . 已知过点
的曲线的方程为
．
（1）求曲线的标准方程：
（2）已知点
，为直线上任意一点，过
作
的垂线交曲线于点，
．证明：
平分线段
（其中
为坐标原点）．
的曲线的方程为．（1）求曲线
的标准方程：（2）已知点
，为直线上任意一点，过作的垂线交曲线于点，．证明：平分线段（其中为坐标原点）．
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9 . 在平面直角坐标系中，已知点
，
，点M满足
，记点M的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设点A，B，C是曲线E上不同的三点，若坐标原点O是
的重心，求证：
的面积为
.
中，已知点，，点M满足，记点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；
(2)设点A，B，C是曲线E上不同的三点，若坐标原点O是
的重心，求证：的面积为.
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10 . 已知圆
，圆
，动圆P与M外切且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)证明C是椭圆（除去一点），并求C的方程；
(2)①一组方向向量为
（k为常数）的平行直线与C均有两个公共点，证明这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
②上图是该椭圆旋转一定角度所得的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其两个焦点的位置，并在答卷的图中画出来.（不必说明理由）.
，圆，动圆P与M外切且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)证明C是椭圆（除去一点），并求C的方程；
(2)①一组方向向量为
（k为常数）的平行直线与C均有两个公共点，证明这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；②上图是该椭圆旋转一定角度所得的图形，请写出一种尺规作图方案以确定其两个焦点的位置，并在答卷的图中画出来.（不必说明理由）.
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