1 . 如图，已知圆，点，为圆上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点.
   
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为，直线与曲线交于两点，求线段的中点坐标和弦长.

2 .
(1)一动圆与已知圆O₁：（x＋3）²＋y²＝1外切，与圆O₂：（x－3）²＋y²＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
(2)求过点A（2，0）且与圆x²＋4x＋y²－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．

3 . 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点满足，若，设过点A的动直线与M相交于，两点.
(1)求动点M的方程.
(2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.

5 . 在平面直角坐标系xOy中，①已知点，G是圆E：上一个动点，线段HG的垂直平分线交GE于点P；②点S，T分别在x轴、y轴上运动，且，动点P满足．
(1)在①，②这两个条件中任选一个，求动点P的轨迹C的方程；
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(2)设圆O：上任意一点A处的切线交轨迹C于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点．若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

6 . 在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
(1)求曲线的方程；
(2)经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.

7 . 已知圆：，，T是圆M上任意一点，线段NT的垂直平分线与半径MT相交于点Q，当点T运动时，记点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)已知点，过的直线GH交曲线C于G，H两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.

8 . 已知，为椭圆的左、右焦点，且A为椭圆上的一点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线与抛物线相交于两点，射线，与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，对于任意时，总存在实数t，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由.

9 . 已知，直线过且与交于两点，过点作直线的平行线交于点．

(1)求证：为定值，并求点的轨迹的方程；
(2)设动直线与相切于点，且与直线交于点，在轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过定点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

10 . 已知定圆，动圆过点，且和圆相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于两点，与轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值；否则，请说明理由.