1 . 已知为坐标原点，双曲线和椭圆均过点且以的两个顶点和的两个焦点为顶点的四边形是面积为的正方形．
(1)求，的方程；
(2)是否存在直线，使得与交于，两点，与只有一个公共点，且？证明你的结论；
(3)椭圆的右顶点为，过椭圆右焦点的直线与交于、两点，关于轴的对称点为，直线与轴交于点，，的面积分别为，，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

2 . 已知A，B分别为椭圆左、右顶点，F是椭圆E的右焦点，其离心率，点在椭圆E上，其中.记直线的斜率分为，且.
(1)求E的标准方程和实数的值；
(2)若动点（异于顶点）是椭圆E上的动点，过点P的直线l的方程为：，且直线交直线l于点，直线交直线l于点，试探究是否为定值？请说明理由.

3 . 已知是平面上的动点， 且点与的距离之和为．点的轨迹为曲线．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点， 曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围．

4 . 椭圆E：，长轴长为4c（c为半焦距），左顶点为A，过点A作直线与椭圆E交于另一个点P（点P在第一象限），P、Q两点均在椭圆上且关于x轴对称，点O为坐标原点，直线OP的斜率为，直线与△APQ的外接圆C（C为圆心）相切于P点，与椭圆交于另一个点T，且；

(1)求椭圆E的离心率；
(2)求直线与直线的斜率；
(3)求椭圆E的标准方程.

5 . 已知椭圆和双曲线的焦距相同，且椭圆经过点．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)如图1，椭圆的长轴两个端点为，垂直于轴的直线与椭圆相交于两点（在的上方），记，求证：为定值，并求的最小值；
(3)如图2，已知过的动直线与椭圆相交于两点，求证：直线的交点在一条定直线上运动．

6 . 如图，椭圆的右准线为，为椭圆上的动点，过点作椭圆的切线（与有且只有一个公共点），与直线交于点.当在短轴端点时，的面积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)若面积为3，求点的坐标.

7 . 如图，过椭圆的左右焦点分别作长轴的垂线交椭圆于，将两侧的椭圆弧删除再分别以为圆心，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”．夹在之间的部分称为椭圆帽的椭圆段，夹在两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段已知左右两个圆弧段所在的圆方程分别为．

（1）求椭圆段的方程；
（2）已知直线l过点与“椭圆帽”的交于两点为M，N，若，求直线l的方程；
（3）已知P为“椭圆帽”的左侧圆弧段上的一点，直线l经过点，与“椭圆帽”交于两点为M，N，若，求的取值范围．

8 . 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆和双曲线有共同的顶点（2，0），且双曲线的焦点到渐近线的距离为，双曲线的渐近线与椭圆的一个公共点的横坐标为．
(1)求双曲线的离心率；
(2)求椭圆的方程；
(3)过椭圆的左焦点作直线（直线的斜率不为零）与椭圆交于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，求证：为定值．

9 . 已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．

10 . 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆：的左､右焦点分别为，，左､右顶点分别为，，一光线从点射出经椭圆上点反射，法线(与椭圆在处的切线垂直的直线)与轴交于点，已知，.

（1）求椭圆的方程.
（2）过的直线与椭圆交于，两点(均不与，重合)，直线与直线交于点，证明：，，三点共线.